Задача на практическое применение интегралов

[DuNi4ka]

Здравствуйте, у меня вот какая задача стоит:
За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие диаметром 0,2 м, вырезанное на дне чаши, если скорость вытекания воды $0,6\cdot\sqrt{2gh}$ см/сек, где $h$ – высота столба воды над отверстием.
Я нашла в одном задачнике по применению интегралов следующий ход рассуждений: за $dt$ времени уровень воды снижается на $dx$ см; считается объем слоя воды, вытекший за это $dt$ сек времени с одной стороны, как объем тела (но в задаче был цилиндр, а не полусфера, и в этом случае объем слоя посчитать не составляет проблемы), а с другой стороны по физическому закону, как $V\,dt$, где $V=0,6\sqrt{2gx}$.
Приравнивая эти выражения, выражаем $dt$, интеграл от которого по $dx$ и дает искомый ответ.
Вот у меня и затык, как посчитать объем слоя воды - объем части шара, ограниченный двумя секущими плоскостями. Или, может, есть совсем другой путь решения этой задачи? Помогите, пожалуйста.

[Marvin]

Так и считать: как обьем между плоскостями.. V*D=d(U)/d(t) (D-диаметр отверстия, V-скорость, U-объем, d-знак дифференцирования)=> t считаем как интеграл по высоте от: d(U(h))/(D*V(h))

Добавлено спустя 5 минут 43 секунды:

Мда, опечатка - D площадь, конечно.

[DuNi4ka]

Этот общий ход решения я поняла... У меня затруднения с нахождением объема U(h) как функции от высоты...

[Brukvalub]

DuNi4ka писал(а):

У меня затруднения с нахождением объема U(h) как функции от высоты...

Возможно, Вам поможет вот это: http://tvsh2004.narod.ru/mg_12-1.htm
Кстати, посмотрите на последнее сообщение Someone в открытой Вами теме про диф. уравнение сем-ва линий. В нем Someone указал д.у., в точности задающее требуемое Вами семейство, в то время, как я в предыдущем сообщении в той же теме написал д.у. третьего порядка, одним из решений которого является заданное семейство, но написанное мной диф. ур-ние имеет и другие решения, что не есть гуд.

[sadomovalex]

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.

[DuNi4ka]

Эту формулу нахождения слоя я уже нашла в справочниках, мне же тут нужна довольно простая зависимость, только от высоты слоя. Если я возьму в качестве элементарного объема шарового слоя - объем соответствующего цилиндра, это нормально? Ведь чем слой тоньше, тем ближе эти два радиуса кругов, ограничивающих слой, друг к другу.
Т.е. если рассматривать в разрезе, объемом шарового слоя можно приблизительно взять объем цилиндра высотой dx и радиусом r, который можно найти из прямоугольного треугольника как r^{2} = R^{2}-(R-h)^{2}, где h - высота столба воды.
Тогда элементарный объем соответственно \pi(R^{2}-(R-h)^{2})dx.
Можно ли так сделать?
И второй вопрос еще -
Можно ли, не нарушая общности, рассматривать резервуар как чисто полусферическую чашу? Если у нее в дне - дыра заданного радиуса, то он уже представляет собой шаровой слой - от полусферы отсечен сегмент заданного радиуса. И высота столба над дырой в начальный момент времени не будет равна радиусу. Я посчитала - высота отсекаемого сегмента будет равна 1 см и максимальная высота столба воды соответственно 1,99 м. Стоит ли это принимать во внимание?

Добавлено спустя 4 минуты 16 секунд:

Brukvalub писал(а):

Кстати, посмотрите на последнее сообщение Someone в открытой Вами теме про диф. уравнение сем-ва линий. В нем Someone указал д.у., в точности задающее требуемое Вами семейство, в то время, как я в предыдущем сообщении в той же теме написал д.у. третьего порядка, одним из решений которого является заданное семейство, но написанное мной диф. ур-ние имеет и другие решения, что не есть гуд.

Да, спасибо, я посмотрела. Вычитала потом еще сама, что порядок дифференциального уравнения должен быть равным количеству произвольных постоянных. Так что и Someone тоже большое спасибо =)

Добавлено спустя 11 минут 46 секунд:

в элементарном объеме dx=dh, опечаталась

[Brukvalub]

DuNi4ka писал(а):

Если я возьму в качестве элементарного объема шарового слоя - объем соответствующего цилиндра, это нормально?

Важен порядок совершаемой при упрощении ошибки.С этой точки зрения , априори, уместнее приближать шаровой слой усечённым конусом. В любом случае, нужно, чтобы при уменьшении диаметра разбиения сумма ошибок, возникающих при замене реального тела выбранными Вами более простыми телами, стремилась к нулю. Если это достигнуто, и сумма приближений является интегральной суммой некоторой функции, то интеграл от этой функции и даёт ответ. Только учтите, с математической точки зрения неприемлемо оставаться на физическом уровне строгости рассуждений и не доказывать, что предел суммы совершаемых ошибок приближения является бесконечно малой величиной по базе разбиений.

[DuNi4ka]

sadomovalex писал(а):

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.

знаете что....
я решила нормально взять и найти элементарный объем по этой формуле...
обозначила х - высота уровня воды, тогда расстояние от центра сферы (верха резервуара) до одного основания слоя R - x, а до второго R - x + dx, если dx - ширина слоя.
Тогда соответственно радиусы кругов, ограничивающих слой выражаются из прямоугольных треугольников как R^{2} - (R-x)^{2} и R^{2} - (R-x+dx)^{2}.
Тогда после подстановки в формулу на рисунке объем слоя у меня получился равен
U = 0.5\pi*dx(4rx-2x^{2}+(2x-2r)dx-2/3dx^{2}) и это я должна приравнять к VSdt, где V - cкорость, S - площадь дырки в чаше.
И вот что-то я торможу, как интегрировать ето выражение, в которое дифференциал по x входит в третьей степени...

[sadomovalex]

пренебречь членами c $dx$ 2-го и 3-го порядка малости. Кстати тот же результат получится, если пренебречь кривизной слоя и считать его цилиндром с выстотой $dx$
Небольшая поправка:

Цитата:

Тогда соответственно квадраты радиусы кругов, ограничивающих слой выражаются из прямоугольных треугольников как R^{2} - (R-x)^{2} и R^{2} - (R-x+dx)^{2}.