Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vicvolf]

Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем группами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).
Примером таких групп для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)} (2).
Другим примером таких групп для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких групп в ПСВ(m) определяется по формуле:
N_4(m)=\frac {4} {3}(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=5}^{r}{(p_i-4)} (3).
Плотность вычетов указанных групп в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
N_k(m)/m=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} \cdot \prod_{i=k+1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} (4), где r>k+1.
Определим асимптотику плотности указанных групп чисел (4) в последовательности простых чисел.

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{\infty}{\frac {dx} {ln^k x}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп чисел в последовательности простых чисел.

Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение \prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}):
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx).
Потенциируем и получаем:
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(\frac {1} {ln^k(x)})) /ln^k(x).
Следовательно,
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_k/ln^k x (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в последовательности простых чисел:
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.
Найдем предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции и асимптотика (6).

Следствие 1
Из формулы и определения асимптотики функций следует:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:
\pi_2(x) \sim C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}.

Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}>\frac {C_{k1}(x-2)} {ln^k x}.
Перейдем к пределу:
\lim \limits_{x \to \infty} {\pi_k (x)} \geq C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}.
Найдем указанный предел по Лопиталю:
C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}= C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {kln^{k-1} x}}=...=C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {k!}}=\infty.
Следовательно \pi_k(\infty)=\infty

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:
P_k(x) < C_{k1}/ln^k x (9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:
\pi_k(x) < C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции \pi_k(x) сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть $I_k (x)=(-lnx)^k (lnx)^{-k} \gamma (1-k, -lnx)$.
Тогда
$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ (11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ (12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду: $1.32\int_{2}^{5041}{\frac {dt} {ln^2 t}=131$.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.

Буду благодарен за замечания и предложения!

[Руст]

vicvolf в сообщении #616595 писал(а):

Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел

Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в последовательности простых чисел:
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.

Это не имеет никакого отношения к простым числам. Вы нашли только асимптотическое выражение для средней плотности таких чисел. Ничего нельзя сказать, как они себя ведут среди простых.

[vorvalm]

[quote="vicvolf в сообщении #616595"]Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).]


Откуда вы это взяли???

[AKM]

vorvalm,

механизм цитирования очень прост, и я не знаю, что там у Вас не получается. И есть кнопка "Предпросмотр". Не получается --- не цитируйте.
Предупреждение за некорректное офрмление сообщений.

[vorvalm]

АКМ
Виноват, обязательно исправлюсь.

[shwedka]

vicvolf,
Я полностью соглашаюсь с замечанием Руст
и уточняю. Вывод утверждения о распределении простых чисел с какими-то свойствами из утверждения о распределении вычетов с соответствующими свойствами требует четкого обоснования предельного перехода. Заявить, что это 'очевидно', недостаточно. 'очевидно' и 'аналогично' вымащивают путь в математический ад.

[vicvolf]

Руст согласен. описался. сейчас исправлю текст.
Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем группами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).
Примером таких групп для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)} (2).
Другим примером таких групп для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких групп в ПСВ(m) определяется по формуле:
N_4(m)=\frac {4} {3}(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=5}^{r}{(p_i-4)} (3).
Плотность вычетов указанных групп в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
N_k(m)/m=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} \cdot \prod_{i=k+1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} (4), где r>k+1.
Определим асимптотику плотности указанных групп чисел (4) в последовательности простых чисел.

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение \prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}):
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx).
Потенциируем и получаем:
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(\frac {1} {ln^k(x)})) /ln^k(x).
Следовательно,
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_k/ln^k x (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в ПСВ(m):
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.
Из выражения (6) найдем:
$\pi_k(x)=\int_{2}^{x}{P_k(t)dt}$ (6.1).
Тогда предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

Следствие 1
Из формулы и определения асимптотики функций следует:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:
\pi_2(x) \sim C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}.

Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}>\frac {C_{k1}(x-2)} {ln^k x}.
Перейдем к пределу:
\lim \limits_{x \to \infty} {\pi_k (x)} \geq C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}.
Найдем указанный предел по Лопиталю:
C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}= C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {kln^{k-1} x}}=...=C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {k!}}=\infty.
Следовательно \pi_k(\infty)=\infty

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:
P_k(x) < C_{k1}/ln^k x (9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:
\pi_k(x) < C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции \pi_k(x) сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть $I_k (x)=(-lnx)^k (lnx)^{-k} \gamma (1-k, -lnx)$.
Тогда
$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ (11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ (12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду: $1.32\int_{2}^{5041}{\frac {dt} {ln^2 t}=131$.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.

[Руст]

vicvolf в сообщении #616688 писал(а):

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{\infty}{\frac {dx} {ln^k x}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Надо исправить предел интегрирования сверху на х.

Вы находите асимптотику $P_k=\prod_{p\le x}(p-k)=\frac{C_k}{\ln^k x}\prod_{p\le x}p$ и делите это выражение на самого себя, естественно 1. Только причем тут простые числа?

[vicvolf]

Руст в сообщении #616700 писал(а):

vicvolf в сообщении #616688 писал(а):

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{\infty}{\frac {dx} {ln^k x}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Надо исправить предел интегрирования сверху на х.

Сейчас исправлю.
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

[Руст]

vicvolf в сообщении #616714 писал(а):

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Причем тут простые числа, у вас нет никакой связи с ними. Лучше назовите не группами, а кортежами, как их вводят для формулировки гипотез Шинцеля.

[vicvolf]

Руст в сообщении #616700 писал(а):

Вы находите асимптотику $P_k=\prod_{p\le x}(p-k)=\frac{C_k}{\ln^k x}\prod_{p\le x}p$ и делите это выражение на самого себя, естественно 1. Только причем тут простые числа?

Исправил:
Из выражения (6) найдем:
$\pi_k(x)=\int_{2}^{x}{P_k(t)dt}$ (6.1).
Тогда предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

-- 09.09.2012, 20:36 --

Руст в сообщении #616725 писал(а):

vicvolf в сообщении #616714 писал(а):

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Причем тут простые числа, у вас нет никакой связи с ними. Лучше назовите не группами, а кортежами, как их вводят для формулировки гипотез Шинцеля.

Хорошо назовем группы кортежами.

[Руст]

vicvolf в сообщении #616726 писал(а):

При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

А зачем эти действия, когда и так ищете предел $\lim_{x\to \infty}\frac{P_k(x)}{P_k(x)}=1$. К тому же все эти интегралы, дифференциалы здесь не уместны, так как речь идет о средней плотности, точнее о количестве кортежей во всем интервале $M=\prod_{p\le x}p$, пока говорить о существовании реальной плотности этих чисел рано и в каком то смысле они и вообще не существуют.

[vorvalm]

vicvolf
Средняя плотность групп (4,2,4,2,4) в ПСВ равна $\varphi_6(M)/M.$
При $M=210$ она равна 0,005,
при $M=2310$ - 0.002,
при $M=30030$ - 0,001.
Число таких групп, приходящихся на соответствующий интервал простых чисел равно:
для $M=210$ равно 0,55,
для $M=2310$ - 0,31,
для $M=30030$ - 0,27.
Реальное число таких групп среди простых чисел на этих интервалах равна 2 (7,11,13,17,19,23),(97,101,103,107,109,113)
Где третья группа???

[vicvolf]

Руст в сообщении #616733 писал(а):

vicvolf в сообщении #616726 писал(а):

При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

А зачем эти действия, когда и так ищете предел $\lim_{x\to \infty}\frac{P_k(x)}{P_k(x)}=1$. К тому же все эти интегралы, дифференциалы здесь не уместны, так как речь идет о средней плотности, точнее о количестве кортежей во всем интервале $M=\prod_{p\le x}p$, пока говорить о существовании реальной плотности этих чисел рано и в каком то смысле они и вообще не существуют.

Если $x=p_r$ конечно, то разговор действительно идет о количестве кортежей в ПСВ. Но я рассматриваю асимптотику, т.е когда $x=p_r$ стремится к бесконечности. Тогда М стремится к бесконечности и все вычеты ПСВ меньше $(p_{r+1})^2$ будут простыми числами, а следовательно все вычеты ПСВ станут последовательностью простых чисел. Поэтому в этом случае разговор идет о количестве кортежей среди простых чисел. Вот именно с этих позиций надо понимать:
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

[Руст]

vicvolf в сообщении #616929 писал(а):

Но я рассматриваю асимптотику, т.е когда $x=p_r$ стремится к бесконечности. Тогда М стремится к бесконечности и все вычеты ПСВ меньше $(p_{r+1})^2$ будут простыми числами, а следовательно все вычеты ПСВ станут последовательностью простых чисел. Поэтому в этом случае разговор идет о количестве кортежей среди простых чисел. Вот именно с этих позиций надо понимать:
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Интервал $[o,p_r^2] =O(\ln ^2 M), M=\prod_{p\le p_r}p$ очень мал по сравнению М и вы тут никак не можете использовать среднюю плотность (точнее отношение общего количества к длине интервала) для оценки количество таких кортежей в этом интервале. Я вам предлагал оценить их количество на одной половине $(M/4,3M/4)$ даже тут без доказательства равномерности нельзя переносить среднюю плотность для оценки количества кортежей, Доказать равномерность очень не просто. Для простых чисел это эквивалентно гипотезе Римана.