2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
 
 Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 14:42 


23/02/12
3338
Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем группами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).
Примером таких групп для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)} (2).
Другим примером таких групп для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких групп в ПСВ(m) определяется по формуле:
N_4(m)=\frac {4} {3}(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=5}^{r}{(p_i-4)} (3).
Плотность вычетов указанных групп в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
N_k(m)/m=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} \cdot \prod_{i=k+1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} (4), где r>k+1.
Определим асимптотику плотности указанных групп чисел (4) в последовательности простых чисел.

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{\infty}{\frac {dx} {ln^k x}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп чисел в последовательности простых чисел.

Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение \prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}):
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx).
Потенциируем и получаем:
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(\frac {1} {ln^k(x)})) /ln^k(x).
Следовательно,
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_k/ln^k x (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в последовательности простых чисел:
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.
Найдем предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции и асимптотика (6).

Следствие 1
Из формулы и определения асимптотики функций следует:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:
\pi_2(x) \sim C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}.

Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}>\frac {C_{k1}(x-2)} {ln^k x}.
Перейдем к пределу:
\lim \limits_{x \to \infty} {\pi_k (x)} \geq C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}.
Найдем указанный предел по Лопиталю:
C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}= C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {kln^{k-1} x}}=...=C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {k!}}=\infty.
Следовательно \pi_k(\infty)=\infty

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:
P_k(x) < C_{k1}/ln^k x (9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:
\pi_k(x) < C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции \pi_k(x) сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть $I_k (x)=(-lnx)^k (lnx)^{-k} \gamma (1-k, -lnx)$.
Тогда
$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ (11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ (12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду: $1.32\int_{2}^{5041}{\frac {dt} {ln^2 t}=131$.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.

Буду благодарен за замечания и предложения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 15:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #616595 писал(а):
Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел

Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в последовательности простых чисел:
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.

Это не имеет никакого отношения к простым числам. Вы нашли только асимптотическое выражение для средней плотности таких чисел. Ничего нельзя сказать, как они себя ведут среди простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 16:41 


31/12/10
1555
[quote="vicvolf в сообщении #616595"]Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).]


Откуда вы это взяли???

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 16:55 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  vorvalm,

механизм цитирования очень прост, и я не знаю, что там у Вас не получается. И есть кнопка "Предпросмотр". Не получается --- не цитируйте.
Предупреждение за некорректное офрмление сообщений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 17:25 


31/12/10
1555
АКМ
Виноват, обязательно исправлюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
vicvolf,
Я полностью соглашаюсь с замечанием Руст
и уточняю. Вывод утверждения о распределении простых чисел с какими-то свойствами из утверждения о распределении вычетов с соответствующими свойствами требует четкого обоснования предельного перехода. Заявить, что это 'очевидно', недостаточно. 'очевидно' и 'аналогично' вымащивают путь в математический ад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 19:23 


23/02/12
3338
Руст согласен. описался. сейчас исправлю текст.
Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем группами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).
Примером таких групп для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)} (2).
Другим примером таких групп для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких групп в ПСВ(m) определяется по формуле:
N_4(m)=\frac {4} {3}(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=5}^{r}{(p_i-4)} (3).
Плотность вычетов указанных групп в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
N_k(m)/m=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} \cdot \prod_{i=k+1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} (4), где r>k+1.
Определим асимптотику плотности указанных групп чисел (4) в последовательности простых чисел.

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение \prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}):
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx).
Потенциируем и получаем:
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(\frac {1} {ln^k(x)})) /ln^k(x).
Следовательно,
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_k/ln^k x (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в ПСВ(m):
P_k(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_k/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{k1}/ln^k x (6), где C_{k1}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.
Из выражения (6) найдем:
$\pi_k(x)=\int_{2}^{x}{P_k(t)dt}$ (6.1).
Тогда предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

Следствие 1
Из формулы и определения асимптотики функций следует:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:
\pi_2(x) \sim C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}.

Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:
\pi_k(x) \sim C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}>\frac {C_{k1}(x-2)} {ln^k x}.
Перейдем к пределу:
\lim \limits_{x \to \infty} {\pi_k (x)} \geq C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}.
Найдем указанный предел по Лопиталю:
C_{k1} \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^k x}}= C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {kln^{k-1} x}}=...=C_{k1}\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {k!}}=\infty.
Следовательно \pi_k(\infty)=\infty

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:
P_k(x) < C_{k1}/ln^k x (9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:
\pi_k(x) < C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}} (10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции \pi_k(x) сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть $I_k (x)=(-lnx)^k (lnx)^{-k} \gamma (1-k, -lnx)$.
Тогда
$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ (11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ (12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду: $1.32\int_{2}^{5041}{\frac {dt} {ln^2 t}=131$.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 19:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #616688 писал(а):

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{\infty}{\frac {dx} {ln^k x}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Надо исправить предел интегрирования сверху на х.

Вы находите асимптотику $P_k=\prod_{p\le x}(p-k)=\frac{C_k}{\ln^k  x}\prod_{p\le x}p$ и делите это выражение на самого себя, естественно 1. Только причем тут простые числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 20:10 


23/02/12
3338
Руст в сообщении #616700 писал(а):
vicvolf в сообщении #616688 писал(а):
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{\infty}{\frac {dx} {ln^k x}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Надо исправить предел интегрирования сверху на х.

Сейчас исправлю.
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 20:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #616714 писал(а):
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Причем тут простые числа, у вас нет никакой связи с ними. Лучше назовите не группами, а кортежами, как их вводят для формулировки гипотез Шинцеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 20:34 


23/02/12
3338
Руст в сообщении #616700 писал(а):
Вы находите асимптотику $P_k=\prod_{p\le x}(p-k)=\frac{C_k}{\ln^k  x}\prod_{p\le x}p$ и делите это выражение на самого себя, естественно 1. Только причем тут простые числа?

Исправил:
Из выражения (6) найдем:
$\pi_k(x)=\int_{2}^{x}{P_k(t)dt}$ (6.1).
Тогда предел отношения:
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{k1} /ln^k x} {P_k (x)}=1 (7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

-- 09.09.2012, 20:36 --

Руст в сообщении #616725 писал(а):
vicvolf в сообщении #616714 писал(а):
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Причем тут простые числа, у вас нет никакой связи с ними. Лучше назовите не группами, а кортежами, как их вводят для формулировки гипотез Шинцеля.

Хорошо назовем группы кортежами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 20:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #616726 писал(а):
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

А зачем эти действия, когда и так ищете предел $\lim_{x\to \infty}\frac{P_k(x)}{P_k(x)}=1$. К тому же все эти интегралы, дифференциалы здесь не уместны, так как речь идет о средней плотности, точнее о количестве кортежей во всем интервале $M=\prod_{p\le x}p$, пока говорить о существовании реальной плотности этих чисел рано и в каком то смысле они и вообще не существуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение09.09.2012, 20:59 


31/12/10
1555
vicvolf
Средняя плотность групп (4,2,4,2,4) в ПСВ равна $\varphi_6(M)/M.$
При $M=210$ она равна 0,005,
при $M=2310$ - 0.002,
при $M=30030$ - 0,001.
Число таких групп, приходящихся на соответствующий интервал простых чисел равно:
для $M=210$ равно 0,55,
для $M=2310$ - 0,31,
для $M=30030$ - 0,27.
Реальное число таких групп среди простых чисел на этих интервалах равна 2 (7,11,13,17,19,23),(97,101,103,107,109,113)
Где третья группа???

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение10.09.2012, 10:29 


23/02/12
3338
Руст в сообщении #616733 писал(а):
vicvolf в сообщении #616726 писал(а):
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.

А зачем эти действия, когда и так ищете предел $\lim_{x\to \infty}\frac{P_k(x)}{P_k(x)}=1$. К тому же все эти интегралы, дифференциалы здесь не уместны, так как речь идет о средней плотности, точнее о количестве кортежей во всем интервале $M=\prod_{p\le x}p$, пока говорить о существовании реальной плотности этих чисел рано и в каком то смысле они и вообще не существуют.

Если $x=p_r$ конечно, то разговор действительно идет о количестве кортежей в ПСВ. Но я рассматриваю асимптотику, т.е когда $x=p_r$ стремится к бесконечности. Тогда М стремится к бесконечности и все вычеты ПСВ меньше $(p_{r+1})^2$ будут простыми числами, а следовательно все вычеты ПСВ станут последовательностью простых чисел. Поэтому в этом случае разговор идет о количестве кортежей среди простых чисел. Вот именно с этих позиций надо понимать:
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел
Сообщение10.09.2012, 11:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vicvolf в сообщении #616929 писал(а):
Но я рассматриваю асимптотику, т.е когда $x=p_r$ стремится к бесконечности. Тогда М стремится к бесконечности и все вычеты ПСВ меньше $(p_{r+1})^2$ будут простыми числами, а следовательно все вычеты ПСВ станут последовательностью простых чисел. Поэтому в этом случае разговор идет о количестве кортежей среди простых чисел. Вот именно с этих позиций надо понимать:
Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_k(x)}}=1, где \pi_k(x) - число указанных кортежей из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.

Интервал $[o,p_r^2] =O(\ln ^2 M), M=\prod_{p\le p_r}p$ очень мал по сравнению М и вы тут никак не можете использовать среднюю плотность (точнее отношение общего количества к длине интервала) для оценки количество таких кортежей в этом интервале. Я вам предлагал оценить их количество на одной половине $(M/4,3M/4)$ даже тут без доказательства равномерности нельзя переносить среднюю плотность для оценки количества кортежей, Доказать равномерность очень не просто. Для простых чисел это эквивалентно гипотезе Римана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 136 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group