Руст согласен. описался. сейчас исправлю текст.
Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чиселРассмотрим приведенную систему вычетов по модулю

- ПСВ(m), где

- простое число с номером i.
Назовем группами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:

(1).
Примером таких групп для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:

(2).
Другим примером таких групп для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких групп в ПСВ(m) определяется по формуле:

(3).
Плотность вычетов указанных групп в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:

(4), где r>k+1.
Определим асимптотику плотности указанных групп чисел (4) в последовательности простых чисел.
Теорема

, где

- число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.
Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение

:

.
Используем формулу:

, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:

.
Потенциируем и получаем:

.
Следовательно,

(5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в ПСВ(m):

(6), где

.
Из выражения (6) найдем:

(6.1).
Тогда предел отношения:

(7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.
Следствие 1
Из формулы и определения асимптотики функций следует:

(8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:

.
Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:

.
Перейдем к пределу:

.
Найдем указанный предел по Лопиталю:

.
Следовательно

Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:

(9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:

(10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции

сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть

.
Тогда
![$C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$ $C_{k1}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}=C_{k1}[I_k (x)-I_k(2)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/7/5a7fda1fd0aac99d10fb312b964b4d5982.png)
(11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
![$C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$ $C_{21}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}=C_{21}[Li(x)-x/lnx-Li(2)+2/ln2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d01a41a172ec9f3e9efc454e06365a5f82.png)
(12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду:

.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.