Руст согласен. описался. сейчас исправлю текст.
Количественные оценки некоторых групп чисел в последовательности простых чиселРассмотрим приведенную систему вычетов по модулю
- ПСВ(m), где
- простое число с номером i.
Назовем группами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим группы, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
(1).
Примером таких групп для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
(2).
Другим примером таких групп для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких групп в ПСВ(m) определяется по формуле:
(3).
Плотность вычетов указанных групп в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
(4), где r>k+1.
Определим асимптотику плотности указанных групп чисел (4) в последовательности простых чисел.
Теорема
, где
- число указанных групп из k чисел меньше действительного x в последовательности простых чисел.
Доказательство
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение
:
.
Используем формулу:
, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
.
Потенциируем и получаем:
.
Следовательно,
(5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных групп в ПСВ(m):
(6), где
.
Из выражения (6) найдем:
(6.1).
Тогда предел отношения:
(7).
При нахождении данного предела выполнено дифференцирование числителя и знаменателя по Лопиталю. Использовано также, что интеграл по верхнему пределу равен подынтегральной функции, асимптотика (6) и производная выражения (6.1) по x, равная подынтегральной функции при значении x.
Следствие 1
Из формулы и определения асимптотики функций следует:
(8).
Отсюда в частном случае при k=2 получается гипотеза Харди-Литлвуда для определения количества близнецов:
.
Следствие 2
Сделаем оценку (8) на бесконечности:
.
Перейдем к пределу:
.
Найдем указанный предел по Лопиталю:
.
Следовательно
Следствие 3
При конечном значении x в силу построения оценок выполняется:
(9).
В частном случае при k=2 получается оценка из следствия теоремы 5.5 Прахара.
Из соотношения (9) следует:
(10).
Поэтому (10) можно использовать для оценки функции
сверху.
Интеграл справа не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть
.
Тогда
(11).
Для k=2 формула (11) имеет более простой вид:
(12).
По гипотезе Харди-Литлвуда C_{21}=1,32......
Например, при расчете числа близнецов от 2 до 5041 получаем по Харди-Литлвуду:
.
Реальное число близнецов от 2 до 5041 составляет 113.