Абстрактные пространства

[Sergey K]

как себе представить абстрактное пространство, например пространство импульсов? или изотопическое пространство? Какая-то координатная ось подменяется осью со значениями импульса/изотопического спина, или точка в этом пространстве представляет какое-то значение импульса/спина?

[arseniiv]

Sergey K в сообщении #616807 писал(а):

точка в этом пространстве представляет какое-то значение импульса/спина

Да.

«Ось» (единственную, если нужно пространство импульсов) со значениями-импульсами представить можно, но вроде никто так не делает.

[Munin]

Главное, просто представить себе пространство. А его точки - это значения импульсов, да.

А разбираться надо в каждом случае отдельно.

Импульсы в классической механике - это обычное трёхмерное евклидово пространство. И скорости.

Квазиимпульсы в твёрдом теле - это обычное трёхмерное пространство, но не бесконечное, а всё внутри одной обратной ячейки. Если квазиимпульс получается во второй, третьей и т. д. зоне Бриллюэна, то он переносится на вектор обратной решётки в первую зону. То есть, тут геометрия не совсем евклидова.

Импульсы в релятивистской механике - это 4-векторы в псевдоевклидовом пространстве, расположенные на массовой поверхности $p_\mu p^\mu=m^2.$ Внутренняя геометрия этой поверхности - псевдосферы - геометрия Лобачевского.

Изототопическое пространство - это пространство $SU(2),$ которое по форме представляет собой сферу $S^3.$ Представить себе такую сферу непросто, я представляю себе её, как если бы её продырявили на южном полюсе, и растянули на плоскость. Получается трёхмерный шар, который в окрестности центра не деформирован, а чем ближе к краям - тем сильнее растянут.

[Sergey K]

Ясно. А как найти объем к-пространства, приходящийся на одно разрешенное значение к? первое что приходит в голову - взять значение $k = \frac {2 \pi n_i} {L}$, n за единицу и в формулу объема сферы, однако не сходится.

[Munin]

Откуда возникают вообще "разрешённые значения"? Из квантования. Так что в выражение должна войти постоянная Планка. Самый правильный путь - квантовать волну в ящике. Халявный - через соотношение неопределённостей, но там надо в справочнике коэффициент подглядеть. И всё это - по трём координатам, чтобы объём был.

[Sergey K]

однако в ответе нет постоянной планка! выходит в между 1.31 и 1.32 написанна чепуха?

[Munin]

Нет. Это я глупость спорол. О какое позорище. Конечно, там нет постоянной Планка. В значениях импульса есть, а в значениях волнового вектора нет. И немудрено, $p=\hbar k.$ А волновой вектор - это чисто геометрическая величина.

Как найти объём $k$-пространства, вы написали верно, если не сходится, то ошибка дальше. Покажите выкладки.

[Sergey K]

заглянул в следующую лекцию и узнал что этот объем вычисляется через параллелепипед, а не сферу. поэтому и не совпадало у меня...

[Munin]

Сфера там тоже есть, сфера Ферми, поэтому я и не возражал, не зная, про что именно вы спрашиваете.