2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 рациональное число
Сообщение10.08.2012, 21:08 


09/01/12
41
В публикациях по математике встречается утверждение, что "рациональное число можно рассматривать как тройку натуральных". Это считается само собой разумеющимся, и ссылки не приводятся. Я искал более подробное описание этого в интернете и в книгах по теории чисел, но ничего не нашел. Может кто-нибудь подскажет, где можно почитать об этом ?

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение10.08.2012, 21:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
С тройкой $(n,m,k)$ ассоциируется число $(n-m)/k$.

Вот Вы всё уже, собственно, и прочитали :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение10.08.2012, 21:50 


09/01/12
41
Ясно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 20:52 


09/01/12
41
Хочу вернуться к данной теме.
Подскажите, пожалуйста, возможно ли задать взаимно однозначное соответствие между рациональным числом и тройкой натуральных чисел кроме как путем наложения дополнительных условий на n,m и k в составе $(n-m)/k$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 21:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Чтобы была единственность, надо требовать $mn=0,gcd(m,n,k)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 21:22 


09/01/12
41
Руст, спасибо за условия единственности, но как насчет моего вопроса ?

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 21:25 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Так как $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{N}^3$ равномощны, то можно. Если я правильно вопрос понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 21:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А явно его построить можно так:

\begin{array}{l} 
f \colon \mathbb N \to \mathbb Q, \\ 
g \colon \mathbb N \to \mathbb N^3, \\ 
\text{результат} = g \circ f^{-1} \colon \mathbb Q \to \mathbb N^3. 
\end{array}

Первое, к примеру, такое:$$\left( 0, \textcolor{blue}{1, -1}, \frac12, \frac21, -\frac12, -\frac21, \textcolor{blue}{\frac13, \frac31, -\frac13, -\frac31}, \frac23, \ldots, \textcolor{blue}{\frac14, \ldots\,}, \frac34, \ldots, \textcolor{blue}{\frac15, \ldots\,}, \ldots \right).$$
А второе — такое:$$\left( (0,0,0), \textcolor{blue}{(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)}, (0,0,2), (0,1,1), (0,2,0), (1,0,1), (1,1,0), (2,0,0), \ldots, \textcolor{blue}{(0,0,3), \ldots\,}, \ldots \right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 21:55 


19/05/10

3940
Россия
dolphin в сообщении #604903 писал(а):
В публикациях по математике встречается утверждение, что "рациональное число можно рассматривать как тройку натуральных"...

В каких публикациях?

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 22:15 


09/01/12
41
arseniiv и AV_77 - спасибо за помощь!

mihailm в сообщении #616780 писал(а):
dolphin в сообщении #604903 писал(а):
В публикациях по математике встречается утверждение, что "рациональное число можно рассматривать как тройку натуральных"...

В каких публикациях?

Прежде всего - в области теории чисел. Встречал, в частности, у Успенского.

 Профиль  
                  
 
 Re: рациональное число
Сообщение09.09.2012, 22:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это ведь естественное утверждение, если исходить из теоретико-множественного построения чисел — целых как классов эквивалентностей пар натуральных и рациональных как классов эквивалентности пар из $\mathbb Z \times\mathbb N_+$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group