рациональное число

[dolphin]

В публикациях по математике встречается утверждение, что "рациональное число можно рассматривать как тройку натуральных". Это считается само собой разумеющимся, и ссылки не приводятся. Я искал более подробное описание этого в интернете и в книгах по теории чисел, но ничего не нашел. Может кто-нибудь подскажет, где можно почитать об этом ?

[Профессор Снэйп]

С тройкой $(n,m,k)$ ассоциируется число $(n-m)/k$.

Вот Вы всё уже, собственно, и прочитали

[dolphin]

Ясно, спасибо!

[dolphin]

Хочу вернуться к данной теме.
Подскажите, пожалуйста, возможно ли задать взаимно однозначное соответствие между рациональным числом и тройкой натуральных чисел кроме как путем наложения дополнительных условий на n,m и k в составе $(n-m)/k$ ?

[Руст]

Чтобы была единственность, надо требовать $mn=0,gcd(m,n,k)=1$.

[dolphin]

Руст, спасибо за условия единственности, но как насчет моего вопроса ?

[AV_77]

Так как $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{N}^3$ равномощны, то можно. Если я правильно вопрос понял.

[arseniiv]

А явно его построить можно так:

\begin{array}{l} f \colon \mathbb N \to \mathbb Q, \\ g \colon \mathbb N \to \mathbb N^3, \\ \text{результат} = g \circ f^{-1} \colon \mathbb Q \to \mathbb N^3. \end{array}

Первое, к примеру, такое:

$$\left( 0, \textcolor{blue}{1, -1}, \frac12, \frac21, -\frac12, -\frac21, \textcolor{blue}{\frac13, \frac31, -\frac13, -\frac31}, \frac23, \ldots, \textcolor{blue}{\frac14, \ldots\,}, \frac34, \ldots, \textcolor{blue}{\frac15, \ldots\,}, \ldots \right).$$

А второе — такое:

$$\left( (0,0,0), \textcolor{blue}{(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)}, (0,0,2), (0,1,1), (0,2,0), (1,0,1), (1,1,0), (2,0,0), \ldots, \textcolor{blue}{(0,0,3), \ldots\,}, \ldots \right).$$

[mihailm]

dolphin в сообщении #604903 писал(а):

В публикациях по математике встречается утверждение, что "рациональное число можно рассматривать как тройку натуральных"...

В каких публикациях?

[dolphin]

arseniiv и AV_77 - спасибо за помощь!

mihailm в сообщении #616780 писал(а):

dolphin в сообщении #604903 писал(а):

В публикациях по математике встречается утверждение, что "рациональное число можно рассматривать как тройку натуральных"...

В каких публикациях?

Прежде всего - в области теории чисел. Встречал, в частности, у Успенского.

[arseniiv]

Это ведь естественное утверждение, если исходить из теоретико-множественного построения чисел — целых как классов эквивалентностей пар натуральных и рациональных как классов эквивалентности пар из $\mathbb Z \times\mathbb N_+$.