ОТО - единая геометризующая теория поля

[pc20b]

Someone

Цитата:

Вы о каком экстремуме кривизны говорите?

Об экстремуме кривизны радиальных сфер на горловине : на ней радиус гауссовой кривизны экстремален, т.е. его производная по радиальной координате обязана быть равной нулю. А в координатах кривизн ($R=r$) это невозможно- они не годятся для покрытия области с экстремумом кривизны.

Цитата:

Ваша склейка производится в области, в которой метрика Рейснера - Нордстрёма заведомо регулярна и никаких экстремумов кривизны не имеет.

Абсолютно верно : при $r\geqslant 2r_f$ метрика Рейсснера-Нордстрема регулярна, не имеет экстремумов кривизны - но в этом-то и её ограниченность, недостаток, не позволяющий склеить её гладко с внутренним решением (для неточечного заряда). Сетка выбрана плохая.

Цитата:

Вы это обстоятельство маскируете для себя, вводя систему координат, которая дважды покрывает область , образуя складку

Нет, система координат $(t,\tilde r)$ по радиальной координате монотонна на полуинтервале $[0,+\infty)$. Области параметризации $[-2r_f,0)$ нет.

Цитата:

вырожденность системы координат маскирует возможное нарушение условий склейки.

Нет, никаких нарушений условий склейки не происходит : система координат снаружи и изнутри обеспечивает выполнение экстремума $R'=0$ на карте, перекрывающей обе системы координат в окрестности горловины. Для систем координат кривизн такой карты не существует.

Цитата:

Геометрии в старой и новой системах координат, естественно, изометричны.

Как могут быть изометричны решения, связанные преобразованиями, вырожденными на гиперповерхности $r=2r_f$? И геометрии у этих решений разные : в координатах кривизн и им изометричным объекты одной массы покоя и одного электрического заряда, но разных размеров, создают в вакууме одно и то же гравитационное поле, а в общих координатах $R\neq r$ - гравитационные поля разные. В первом случае сшивки сфер на горловине происходят под углом (производные по радиусу от их кривизны имеют разные знаки в общей карте), а во втором случае - гладко.

[Someone]

pc20b писал(а):

Цитата:

Вы это обстоятельство маскируете для себя, вводя систему координат, которая дважды покрывает область , образуя складку

Нет, система координат $(t,\tilde r)$ по радиальной координате монотонна на полуинтервале $[0,+\infty)$. Области параметризации $[-2r_f,0)$ нет.

Я понимаю, что она не нужна, поскольку повторно покрывает ту же область, и что Вы её не используете. Я объясняю Вам происхождение Вашего мнимого "минимума".

pc20b писал(а):

Цитата:

вырожденность системы координат маскирует возможное нарушение условий склейки.

Нет, никаких нарушений условий склейки не происходит : система координат снаружи и изнутри обеспечивает выполнение экстремума $R'=0$ на карте, перекрывающей обе системы координат в окрестности горловины.

Беда в том, что это условие не нужно. Требуется совпадение геометрий на поверхности склейки "снаружи" и "изнутри", то есть, расстояния между точками на поверхности склейки, посчитанные "снаружи" и "изнутри", должны быть одинаковыми. И внешняя кривизна, посчитанная "снаружи" и "изнутри", также должна быть одинаковая. А непрерывность производных к делу отношения не имеет. И, учитывая, что на границе склейки тензор энергии-импульса-натяжений имеет разрыв, а системы координат "снаружи" и "изнутри" разные, трудно рассчитывать на непрерывность производных.

pc20b писал(а):

Для систем координат кривизн такой карты не существует.

Её и для Вашей системы координат не существует, "минимум" при $\tilde r=0$ существует только в Вашем воображении.

pc20b писал(а):

Цитата:

Геометрии в старой и новой системах координат, естественно, изометричны.

Как могут быть изометричны решения, связанные преобразованиями, вырожденными на гиперповерхности $r=2r_f$?

Просто заменяя координаты, никогда нельзя получить новую геометрию. Я Вам объяснял, как получается изометричность: в областях $\tilde r>0$ и $r>2r_f$ якобиан преобразования не равен нулю, так что там всё изометрично, а на границе изометричность получается из соображений непрерывности.

[pc20b]

Someone
Да, применяя допустимые (невырожденные, с везде не равным нулю или бесконечности якобианом) преобразования координат, получить новую геометрию нельзя. Но применяя вырожденные (нечестные) преобразования, иногда, возможно, можно.

Цитата:

учитывая, что на границе склейки тензор энергии-импульса-натяжений имеет разрыв, а системы координат "снаружи" и "изнутри" разные, трудно рассчитывать на непрерывность производных.

Не надо ни на что рассчитывать : разрыв $G_0^0$ компоненты тензора Эйнштейна, а следовательно, тензора энергии-импульса, допустим (граница вещество-вакуум), но разрыв величины $G_1^1f_{,1}$, где $f(r)= const$ - уравнение поверхности склейки, недопустим, согласно условию Лихнеровича.

Если приближаться к поверхности склейки со стороны внутреннего решения, то эта величина на горловине равна нулю за счет условия экстремума $R'_h=0$. Также она равна нулю и в общих сферических координатах при $R\neq r$ со стороны статического вакуума.

В координатах же кривизн $R=r$, т.к. уравнение поверхности склейки $r-2r_f=0$, эта величина со стороны вакуума равна $\frac {8\pi k}{c^4}\varepsilon _{fh}$, т.е. пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля на горловине, которая не равна нулю.

Следовательно, условия склейки не выполняются на решении Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн :

$$G_1^1f_{_,1}_{int}=0$$

,

$$G_1^1_f{_,1}_{ext}\neq 0$$

.

$$\Longrightarrow G_{\mu}^{\nu}f_{,\nu}\notin [C]$$

.

Что ещё надо, чтобы убедить Вас в этом.

[Someone]

pc20b писал(а):

Да, применяя допустимые (невырожденные, с везде не равным нулю или бесконечности якобианом) преобразования координат, получить новую геометрию нельзя. Но применяя вырожденные (нечестные) преобразования, иногда, возможно, можно.

Нет. Вы здесь заблуждаетесь. Вы путаете, вероятно, с другим случаем, когда заменяются не только координаты, но и область пространства-времени, к которой они относятся. Новая область может перекрываться со старой, и в области перекрытия преобразование координат может быть в некоторых точках сингулярным. Но в Вашем случае при переходе от $r$ к $\tilde r$ происходит не расширение, а сужение области. Зато обратный переход к "координатам кривизны" расширяет область применения координат.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Да, решение уравнений ОТО, в силу глобальной "гиперболичности" пространства, "генерируемого" её нелинейными дифференциальными уравнениями, очевидно, всегда содержит хотя бы одну особенность на (граничных) подпространствах. Но вне её хотелось бы, чтобы всё было "аналитично".

Хотеть не вредно. Только зачем устранять особенности Есть специальный аппарат,
который позволяет корректно работать с такими сильными особенностями.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Хотеть не вредно. Только зачем устранять особенности Есть специальный аппарат,
который позволяет корректно работать с такими сильными особенностями

Извините, некорректно было построено предложение : не мы особенность устранили, а само гравитационное поле - в кривом пространстве-времени в веществе + электромагнитное поле кулоновская расходимость

$$R=0$$

в поле

$$E=\frac e{R^2}$$

исчезает, точечный заряд в пространстве Минковского заменяется на горловину конечного радиуса, равного

$$e^2/m_0c^2$$

, в пространстве ОТО.

Выше приведено это простое решение. Видно, что обычный аппарат аналитических функций справляется с этой красивой картиной. Пока.

Добавлено спустя 10 минут 51 секунду:

Someone

Цитата:

Зато обратный переход к "координатам кривизны" расширяет область применения координат.

Как же этот "обратный переход "расширяет", когда он сужает : область

$$R'=0$$

этим координатам кривизн недоступна. Более того, такой переход некорректен - это переход к другому решению.

Просьба прокомментировать нарушение условия склейки (Лихнеровича) с внутренним миром в решении Рейсснера-Нордстрема в координатах кривизн.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

Зато обратный переход к "координатам кривизны" расширяет область применения координат.

Как же этот "обратный переход "расширяет", когда он сужает : область

$$R'=0$$

этим координатам кривизн недоступна. Более того, такой переход некорректен - это переход к другому решению.

1) Вы понимаете, что области $r>2r_f$ и $\tilde r>0$ изометричны? Они связаны гладким (класса $C^{\infty}$) преобразованием координат, с ненулевым якобианом.

2) Вы понимаете, что поверхности $r=2r_f$ и $\tilde r=0$ являются границами указанных выше областей, переходящими друг в друга при указанном Вами преобразовании координат? Это преобразование обратимо и непрерывно в обе стороны вплоть до границы, хотя и не является гладким на границе. "Хорошей" координатой на границе является именно $r$, а не $\tilde r$.

3) Вы понимаете, что равенство непрерывных функций, выполняющееся внутри области, автоматически выполняется и на границе? Поскольку пространственно-временной интервал является непрерывной функцией (включая и границу), изометрия, имеющаяся внутри области, остаётся изометрией и на границе (точнее, в замкнутых областях $r\geqslant 2r_f$ и $\tilde r\geqslant 0$).

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Видно, что обычный аппарат аналитических функций справляется с этой красивой картиной. Пока.

Нет не справляется. Так что пока я вижу только что Someone похоронил Вас вместе с
Вашей теорией.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Нет не справляется.

Да, ни аппарат, ни Someone. Разборка продолжается. А помирать нам рановато, есть у нас ещё кое-какой бизнес. Да, если аппарат обобщенных функций позволяет продвинуться в решении нелинейных дифференциальных уравнений, то это прекрасно. Круто. Может, расскажете?

[Someone]

pc20b писал(а):

Да, если аппарат обобщенных функций позволяет продвинуться в решении нелинейных дифференциальных уравнений, то это прекрасно. Круто. Может, расскажете?

Может, Вы для начала обычный математический анализ подучите? Хотя бы для того, чтобы понимать свойства непрерывных функций и то "удивительное" обстоятельство, что условия экстремума не сводятся к равенству $y'=0$ даже для функций одной переменной. И ещё одно не менее "удивительное" обстоятельство, что свойства геометрического объекта не зависят от того, в какой системе координат мы его изучаем.

[pc20b]

Someone

Цитата:

Хотя бы для того, чтобы понимать свойства непрерывных функций и то "удивительное" обстоятельство, что условия экстремума не сводятся к равенству $y'=0$ даже для функций одной переменной.

Для непрерывных да, а для гладких - нет. Изломы недопустимы. В координатах кривизн нет экстремума не потому, что не может быть выполнено условие $R'=0$, а потому что его (экстремума) вообще нет.

Цитата:

свойства геометрического объекта не зависят от того, в какой системе координат мы его изучаем.

Уже было замечено, что это известно детям ещё со средней группы детсада (советского), когда они начинают заниматься склейкой поверхностей. От системы координат не зависит, но если система координат плохая, то она не сможет описать какие-то свойства поверхности, в данном случае - горловину.

В координатах кривизн нет экстремума $R'=0$ для гладких 2-поверхностей.


Может так оказаться, что Вы правы и мы правы. Вы не правы, и мы не правы. В связи с теоремой Биркгофа появился ряд соображений, о которых разрешите кратко сказать.

Внутри вещества с электромагнитным полем существует (в сферически симметричном смысле) статическая горловина. С вырождающейся на ней системой координат. Был задан вопрос, можно ли со стороны вакуума в сферической симметрии (без всяких фокусов с якобианом) построить горловину неточечного источника, уйдя от координат кривизн. Вот что получилось.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ №2. Со стороны вакуума построить горловину для сферически симметричного источника без особенностей невозможно.
Сферически симметричное поле в вакууме (вне вещества) продолжается в источник метрикой Шварцшильда (Рейсснера-Нордстрема, в случае наличия электрического заряда) в координатах кривизн только в частных случаях - или точечного источника, или при наличии горизонта событий.

Доказательство.
1. Общий вид центрально симметричной метрики (ЛЛ, т.II, 1967, с. 364) :

$$ds^2=e^{\nu (t,r)}dt^2-e^{\lambda (t,r)}dr^2-R^2(t,r)d\sigma ^2+2g_{01}dtdr$$

.

Изометричные поля допускают два произвольных преобразования координат :

$$t=t(\tilde t,\tilde r)$$

,

$$r=r(\tilde t,\tilde r)$$

.

Они позволяют наложить на систему отсчета два произвольных условия, не нарушающие общность.
Если решать задачу описания внешнего поля массивных заряженных невращающихся тел, то эти условия очевидны :

1)

$$g_{01}=0$$

(метрика ортогональна),
2)

$$\dot { }=\partial /\partial t=0$$

(поле статично в данной системе отсчета).

2. Гравитационному вакуумному полю заряженного источника отвечает тензор энергии импульса (ЛЛ, т.II, 1967, с.113), смешанные компоненты которого равны :

$$diag(\varepsilon _f, \varepsilon _f, -\varepsilon _f, -\varepsilon _f)$$

,

где

$$\varepsilon _f$$

- плотность энергии электромагнитного поля в вакууме.

Уравнения Эйнштейна-Максвелла в данном случае выглядят так (ЛЛ, т.II, 1967, с.388):

(1)

$$\frac {1}{R^2}(1-e^{-\lambda}(2RR''+R'^2-RR'\lambda '))=\kappa \varepsilon _f$$

,

(2)

$$\frac {1}{R^2}(1-e^{-\lambda}(R'^2+RR'\nu '))=\kappa \varepsilon _f$$

,

(3)

$$\frac {1}{4}e^{-\lambda}(2\nu ''+\nu '^2-\nu '\lambda '+2R'\nu '/R-2R'\lambda '/R+4R''/R)=\kappa \varepsilon _f$$

,

(4)

$$\varepsilon _f'+4\frac {R'}{R}\varepsilon _f=0$$

.

Здесь $\kappa =8\pi k/c^4$.

3. Из (4) плотность энергии электромагнитного поля равна :

$$\varepsilon _f=\frac {Q_0^2}{8\pi R^4}$$

,

Где $Q_0$ - заряд источника.
Если уравнение (1) представить в виде :

$$(\frac {4\pi R}{\kappa}(1-e^{-\lambda}R'^2))'=4\pi R^2R'\varepsilon _f$$

,

то оно легко интегрируется, возникающая константа интегрирования $E_0$ - полная гравитационная энергия системы источник + поле, постоянная в любой точке вакуумного мира :

$$E_0 = \frac {Q_0^2}{2R}+\frac {4\pi R}{\kappa}(1-A(R))$$

,

где

$$A=e^{-\lambda }R'^2$$

. Или, по-другому :

$$A=1-\frac {R_g}{R}+\frac {R_c^2}{R^2}$$

,

где

$$R_g=\frac {\kappa E_0}{4\pi}$$

- гравитационный радиус источника,

$$R_c=(\frac {\kappa Q_0^2}{8\pi})^{1/2}$$

- т.н. критический радиус.

Уравнение (2), переписанное в виде :

$$(\nu +\lambda)'=2\frac {R''}{R'}$$

,

- интегрируется :

$$e^{\nu +\lambda}=R'^2$$

.

C учетом этих результатов уравнение (3) выполняется тождественно, и метрика вне источника в вакууме приобетает такой общий вид :

(5)

$$ds^2=Adt^2-\frac {R'^2}{A}dr^2-R^2(r)d\sigma ^2$$

.

4. Но на функцию $R(r)$ в вакууме больше нет уравнений. Следовательно, можно, используя допустимое преобразование координат (ЛЛ, т.II, 1967, с. 364), $r=r(\tilde r)$, на неё наложить одно условие, скажем, $R=r$, т.е. перейти в координаты кривизн. Но они, исключая ситуацию $R'=0$, не могут описать экстремума кривизны 2-сфер, ортогональных радиальной координате $r$, т.е. горловину.

Следовательно, со стороны вакуума в сферической симметрии горловину в общем случае не построить.
5. Горловина (h), $R_h'=0$, может быть описана со стороны вакуума только при возникновении горизонтов типа, скажем,

$$g_{00}=A=0$$

.

1) Если

$$R_g<2R_c$$

(

$$Q_0=e>\sqrt km_0$$

), то $A>0$ при любых $r$. Следовательно, решение, не обладая экстремумом кривизны, может быть продолжено вплоть до сингулярности $R=r=0$, где кривизна обращается в бесконечность, т.е. оно описывает внешнее гравитационное (электромагнитное) поле точечного источника заряда $e$ и массы покоя $m_0$. Это - R-область Новикова
2) Если

$$R_g=2R_c$$

(

$$e=\sqrt km_0$$

),то это случай т.н. фридмона (максимона) - статического экстремального объекта с

$$R_h=2R_f=2R_c=R_g$$

c невырожденной всюду сферической системой координат, на поверхности которого

$$g_{00}_h=0 $$

- горизонте событий - возникает горловина, продолжающая без особенностей внешнее вакуумное решение внутрь заряда.
3) Если

$$R_g>2R_c$$

(

$$e<\sqrt km_0$$

), то пространство-время разбивается на три подобласти Новикова, разделённые горизонтами

$$g_{00}_h=0$$

в точках

$$r_{1,2}=\frac {R_g}{2}(1\pm\sqrt {1-(2R_c/R_g)^2})$$

:

при

$$0<r<r_1$$

и при

$$r>r_2$$

расположены R- области Новикова с метрикой (5), а в области

$$r_1<r<r_2$$

лежит T- область Новикова, в которой временная и радиальные координаты поменялись местами :

$$t=\tilde r$$

, а

$$r=\tilde t$$

и метрика (5) имеет вид :

$$ds^2=\frac {1}{A(t)}dt^2-A(t)dr^2-t^2d\sigma ^2$$

,

где

$$A(t)=-(1-\frac {R_g}{t}+\frac {R_c^2}{t^2})$$

, в которой условие

$$R'_h=0$$

выполняется ввиду однородности пространства-времени Т-области по $r$ (в ней есть истинная сингулярность при $t=0$).

(продолжение следует)

Добавлено спустя 2 часа 34 минуты 30 секунд:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ №3. Горловина без особенностей, соединяющая внутренний материальный источник с внешним вакуумным миром, может быть получена согласованно на всех 2-поверхностях в аксиально-симметричной системе с неустранимым вращением (со спином).

Логика такова.
1.В сферически симметричном случае речь шла о возможности достижения экстремума кривизны 2-сфер, ортогональных радиальной координате. Но вообще-то одновременно с экстремумом кривизны этих сфер необходим экстремум кривизны 2-поверхностей, которым принадлежат, например, линии, вдоль которых меняется координата $r$ и одна из циклических координат, скажем, $\varphi$. В том же гладком (подчеркнуто для Someone'a) случае на (h) :

$$_0K_\theta ^{(4)}_h<0$$

,

$$_0K_\theta ^{(4)}_h'=0$$

.

2. Одной из причин отсутствия экстремума кривизн на границе источник-вакуум является фокусирующий (физически - притягивающий) характер гравитационного поля. Это приводит к коллапсу материи в центр и к образованию сингулярностей.
3. Единственной причиной, которая может воспрепятствовать этому коллапсу, является истинное (неустранимое преобразованиями координат) вращение. Почему? Согласно уравнению Райчаудхури для объёмного расхождения $\theta$ геодезических, тензор Риччи и тензор сдвига с квадратом модуля $2\sigma ^2$ порождают схождение (фокусировку), и лишь тензор вращения (с квадратом модуля $2\omega ^2$) порождает расхождение геодезических (4-ускорение опустим) (Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени, 1977, с.101) :

$$\frac {d\theta}{ds} =-R_{\mu}_{\nu}u^{\mu}u^{\nu}+2\omega ^2-2\sigma ^2$$

Т.е. вращение, как бы за счет "центробежной силы", раздвигает сходящиеся к центру поверхности и обеспечивает таким образом экстремум кривизны по всем направлениям, т.е. существование горловины.

В центрально-симметричных моделях можно получить лишь намёк на существование такой геометрии. Т.е. там полное описание невозможно.


P.S. Someone, в паузу можно пошутить? Вы :

Цитата:

Может, Вы для начала обычный математический анализ подучите?

Это никогда не вредно. За то, что Вы бревно у нас из глаза вытаскиваете, большое Вам гранд мерси, бестен данк, сенкс э лот и просто от всей души спасибо. В знак благодарности разрешите Вам напомнить, что напрасность Вашего сомнения :

Цитата:

Если система координат имеет особенности на поверхности склейки (а Вы именно такими системами координат и хотите пользоваться), то условия склейки будут вырождаться и склейка может оказаться некорректной

,-
стала бы Вам очевидной, если вспомнить обычную плоскость :

$$ds^2=dx^2+dy^2=dr^2+r^2d\varphi ^2$$

. Хоть в точке $r=0$ определитель метрики в полярных координатах $(r,\varphi)$ и обращается в нуль, т.е. они вырождаются, ничего криминального при этом не происходит, просто на полюсе полярные координаты не работают из-за неопределенности угла $\varphi$. И склейка в этой точке будет очень даже приличной.

[Someone]

pc20b писал(а):

Someone

Цитата:

Хотя бы для того, чтобы понимать свойства непрерывных функций и то "удивительное" обстоятельство, что условия экстремума не сводятся к равенству $y'=0$ даже для функций одной переменной.

Для непрерывных да, а для гладких - нет.

Для гладких - тоже не сводятся. Это только необходимое условие, но ни в коем случае не достаточное.

pc20b писал(а):

В координатах кривизн нет экстремума не потому, что не может быть выполнено условие $R'=0$, а потому что его (экстремума) вообще нет.

Так в Ваших координатах с $\tilde r$ экстремума тоже нет. Потому что они покрывают ту часть решения Рейснера - Нордстрёма, в которой никакого экстремума заведомо нет. А то, что Вы восприниматете как экстремум - не более чем фантом, существующий только в Вашем воображении. Я ведь объяснял, откуда здесь берётся этот "минимум".

pc20b писал(а):

Цитата:

свойства геометрического объекта не зависят от того, в какой системе координат мы его изучаем.

Уже было замечено, что это известно детям ещё со средней группы детсада (советского), когда они начинают заниматься склейкой поверхностей. От системы координат не зависит, но если система координат плохая, то она не сможет описать какие-то свойства поверхности, в данном случае - горловину.

Вы это уже второй раз пишете, так что у читателей может сложиться впечатление, что Вы со мной в этом вопросе полностью согласны. К сожалению, действуете Вы прямо поперёк того, что говорите: вводите на части этого объекта свою систему координат и заявляете, что свойства объекта от этого радикально изменились. Причём, ссылаетесь именно на то, что Ваша система координат - плохая (определитель метрического тензора обращается в ноль).

pc20b писал(а):

В знак благодарности разрешите Вам напомнить, что напрасность Вашего сомнения :

Цитата:

Если система координат имеет особенности на поверхности склейки (а Вы именно такими системами координат и хотите пользоваться), то условия склейки будут вырождаться и склейка может оказаться некорректной

,-
стала бы Вам очевидной, если вспомнить обычную плоскость :

$$ds^2=dx^2+dy^2=dr^2+r^2d\varphi ^2$$

. Хоть в точке $r=0$ определитель метрики в полярных координатах $(r,\varphi)$ и обращается в нуль, т.е. они вырождаются, ничего криминального при этом не происходит, просто на полюсе полярные координаты не работают из-за неопределенности угла $\varphi$. И склейка в этой точке будет очень даже приличной.

И какая же там будет "приличная" склейка? С чем Вы эту плоскость собрались склеивать в одной точке? Мы же обсуждаем склейку по границе области, а не в одной точке.

В том-то и дело, что вырожденность систем координат на поверхности склейки может маскировать нарушение условий склейки. А если склейка корректна, то она будет корректной в любых системах координат. Причём, по той же причине: свойства геометрического объекта не зависят от системы координат.

Добавлено спустя 34 минуты 13 секунд:

Котофеич писал(а):

pc20b писал(а):

Видно, что обычный аппарат аналитических функций справляется с этой красивой картиной. Пока.

:evil: Нет не справляется. Так что пока я вижу только что Someone похоронил Вас вместе с
Вашей теорией. :oops:

Смотря о чём идёт речь. Возможно, корректную склейку внутреннего и внешнего решения осуществить можно. Однако пока у нас слишком мало информации о внутреннем решении. В частности, хотелось бы посмотреть на вывод этого решения, и посмотреть его свойства подробнее.
Что касается использования этой конструкции как модели элементарной частицы, то это весьма сомнительно. Причины, на мой взгляд, очевидные:
1) в ОТО нет никаких причин, чтобы из горловины, изображающей электрон, "торчало" непременно электрическое поле, а не магнитное или какая-нибудь смесь электрического и магнитного полей, тем более, что внутри - целый мир со множеством своих движущихся заряженных частиц, поэтому магнитные поля внутри есть, и нет причин, по которым они должны ограничиваться внутренней областью;
2) поскольку в этом внутреннем мире множество горловин, изображающих различные частицы, наш электрон в их внутренних мирах будет выглядеть не электроном, а, видимо, соответствующей античастицей (скажем, внутри протона - антипротоном);
3) в ОТО нет никаких причин для квантования заряда и массы подобных моделей "частиц";
4) вряд ли возможно рассматривать протон как одну горловину, поскольку в опытах на ускорителях внутри протона чётко обнаруживаются три массивных центра (насколько я помню, я об этом где-то читал).

[pc20b]

Someone

Цитата:

Для гладких - тоже не сводятся. Это только необходимое условие, но ни в коем случае не достаточное.

Конечно. Достаточным условием экстремума функции (у которой существуют и непрерывны первая и вторая производные) в точке является знакоопределенность дифференциала второго порядка в ней. Но в данном случае речь шла о другом, что, очевидно, было не понятно, т.к. не было отмечено (это наша вина) : т.к. решается задача о склейке внутреннего и внешнего решений с формированием горловины (с отрезанием ножницами сингулярной части внешнего решения), то неважно, имеет ли место на поверхности склейки экстремум кривизны (максимум, минимум), или перегиб - либо в обоих решениях, либо в одном из них - всё равно после склейки можно получить экстремум. Вот почему условия :

$$_0K_{rh}^{(4)}>0, _0K_{rh}^{(4)}'=0$$

, откуда в частном случае возникает условие $R'_h=0$, - оказываются достаточными.
А за замечание спасибо.

Цитата:

Так в Ваших координатах с экстремума тоже нет. Потому что они покрывают ту часть решения Рейснера - Нордстрёма, в которой никакого экстремума заведомо нет. А то, что Вы воспринимаете как экстремум - не более чем фантом, существующий только в Вашем воображении. Я ведь объяснял, откуда здесь берётся этот "минимум".

Объясните, почему два решения, связанные нерегулярными преобразованиями (с нулящимся якобианом на гиперповерхности), покрывают одну и ту же часть решения?

pc20b писал :

Цитата:

От системы координат не зависит, но если система координат плохая, то она не сможет описать какие-то свойства поверхности, в данном случае - горловину.

Непонятно, что Вы имеете против того, что из того, что условия склейки не зависят от системы координат, вовсе не следует, во-первых, что любые системы координат годятся для описания склейки, во-вторых, что склейку нельзя описать в системе координат с нулящимся на поверхности склейки определителем метрики?

Цитата:

вводите на части этого объекта свою систему координат и заявляете, что свойства объекта от этого радикально изменились. Причём, ссылаетесь именно на то, что Ваша система координат - плохая (определитель метрического тензора обращается в ноль

Немного не так. Внешнее вакуумное решение, в котором нет ни экстремума, ни перегиба кривизны радиальных сфер, деформируется нерегулярным преобразованием координатной сетки с нулящимся якобианом (трюк, корректность которого пока не ясна). Деформируется, т.к. из-за зануления якобиана нет взаимно однозначного соответствия между точками областей. Эти действия не сводятся к тому, что Вы понимаете как "вводите на части этого объекта свою систему координат" - это другая "часть", причем, новая область получается более широкой (может получиться), и, если деформированная метрика удовлетворяет уравнениям поля, то это означает (может означать) неизометрическое размножение решения. И новая система координат вовсе не "плохая" (она становится "плохой", но "хорошей", по другому поводу - зануления определителя метрики на горловине. Это плата за попытку хоть как-то описать горловину в сферически симметричной системе).

Мы пытаемся описать горловину "в плохой системе координат" с нулящимся на поверхности склейки теперь уже определителем метрики в другом месте - во внутреннем решении, когда экстремум (либо перегиб) кривизны радиальных сфер описывается условием $R'_h=0$, которое при $e\neq \sqrt km_0$, за счет обращения на горловине в нуль $g_{22}=-R'^2/f^2$, приводит к занулению на ней определителя метрики. Но это вырождение сферической системы координат говорит лишь о том, что она на самой горловине не работает. И это не страшно, т.к. при этом все независящие от системы координат инвариантные величины, как физические, так и геометрические, которые непрерывны вне горловины, остаются конечными на ней. Приведен банальный пример - вырождения на плоскости полярных координат в их центре, которое не приводит ни к каким значимым последствиям.

Цитата:

И какая же там будет "приличная" склейка? С чем Вы эту плоскость собрались склеивать в одной точке? Мы же обсуждаем склейку по границе области, а не в одной точке.

Конечно, нет : не в одной точке, а по границе, включающей точку $r=0$ (опять, извините, чисто формальная "придирка". Хотя формально и справедливая. Можно и так понять - склейка в точке, что ли ...).

Цитата:

Если система координат имеет особенности на поверхности склейки (а Вы именно такими системами координат и хотите пользоваться), то условия склейки будут вырождаться и склейка может оказаться некорректной

Может. А может и не оказаться. Вот, в данном случае условие экстремума (перегиба) кривизны на горловине $R'_h=0$, где сферическая система координат вырождается, проверяются исследованием поведения знаков первой и второй производных функции $R(t,r)$ по $r$ в малой окрестности 2-поверхности $r=r_h$.

Цитата:

А если склейка корректна, то она будет корректной в любых системах координат

Если применить здесь формальную логику, к которой Вы иногда обращаетесь, то ведь это не так : при корректной склейке существуют системы координат, которые эту склейку описать не смогут. К примеру, координаты кривизн.
(продолжение следует)

[pc20b]

(продолжение)
Someone

Цитата:

хотелось бы посмотреть на вывод этого решения

Приведем чуть позже, если это интересно посетителям темы. Пока решение кратко изложено в ЖЭТФ 68, 2, 1975, с.387.

Цитата:

Что касается использования этой конструкции как модели элементарной частицы, то это весьма сомнительно. Причины, на мой взгляд, очевидные:
1) в ОТО нет никаких причин, чтобы из горловины, изображающей электрон, "торчало" непременно электрическое поле, а не магнитное или какая-нибудь смесь электрического и магнитного полей

Это Вы уже неоднократно говорили. Просьба как-то обосновать.

Цитата:

... тем более, что внутри - целый мир со множеством своих движущихся заряженных частиц, поэтому магнитные поля внутри есть, и нет причин, по которым они должны ограничиваться внутренней областью;

Опять же чисто формальное и несерьезное возражение. Приведено без обоснования. Во вселенной много чего есть. Но, например, наша вселенная "почти" нейтральна - её электромагнитное поле, связанное с наличием двух горловин, в наблюдаемом состоянии, близком к максимальному расширению, очень мало; сильное влияние радиального электрического поля на ранней стадии сжатой вселенной данное решение учитывает. Радиационный космический фон, состоящий в том числе и из заряженной компоненты, вряд ли существенно влияет на плотность энергии материи в ней, которая в основном определяется нейтральным (в модели - пылевидным) веществом и электромагнитным полем горловин. А следовательно, "множество движущихся заряженных частиц" (со своими магнитными полями) не могут существенно повлиять на геометрию пространства-времени.

Цитата:

2) поскольку в этом внутреннем мире множество горловин, изображающих различные частицы, наш электрон в их внутренних мирах будет выглядеть не электроном, а, видимо, соответствующей античастицей (скажем, внутри протона - антипротоном);

Само решение уравнений ОТО описывает внутренний мир как нейтральную пыль с радиальным электрическим полем в сопутствующей системе отсчета. Горловины , связанные с тем, что сама пыль состоит из элементарных заряженных частиц (электронов, протонов, нейтронов, ...), мы неизбежно рисуем уже в своем мозгу, как вытекающие из результата решения, его топологического анализа.

Предложение "наш электрон в их внутренних мирах будет выглядеть не электроном, а, видимо, соответствующей античастицей (скажем, внутри протона - антипротоном)", извините, непонятно. Просьба его пояснить.

Цитата:

3) в ОТО нет никаких причин для квантования заряда и массы подобных моделей "частиц";

Это соображение существенно, интересно. Да, пока из ОТО мы не извлекли ответ на вопрос, почему все заряды в наблюдаемом нами мире кратны фундаментальному - $e$, а массы покоя - кратны массам покоя электрона, $m_0$, протона и т.д.

Но это не аргумент к Вашему высказыванию о "сомнительности использования данной конструкции как модели элементарной частицы". Во-первых, тенденция к квантованию в ОТО пространства-времени как одного из эффектов его кривизны (замкнутые периодические конечные по параметрам R- и T- области Новикова, непроницаемые для световых геодезических), уже отмечалась в данной теме. Если это так, то дискретность значений зарядов, масс будет очевидной, если допустить, что мир строится из одинаковых элементов.
Именно этому вопросу отвечала вскользь поднятая тема о единстве мира в целом (единичное тождественно всеобщему). Но, к сожалению, пока она воспринимается как "философия", т.е. "красивая говорильня".

Если же Вы хотите сразу же получить ответ на вопрос, почему мы видим именно такие значения $e=4,8\cdot 10^{-10}$ ед.зар. СГС, $m_0=0,9\cdot 10^{-27}$ г, то это вопрос либо сами понимаете к Кому, либо к тем аспирантам и стажерам из созвездья Гончих Псов, которые разрабатывали и запускали программу строительства экосферы на Терре.

Цитата:

4) вряд ли возможно рассматривать протон как одну горловину, поскольку в опытах на ускорителях внутри протона чётко обнаруживаются три массивных центра (насколько я помню, я об этом где-то читал).

Да, возможно, вряд ли. Но это ни в коем случае не аннигилирует саму идею и сам результат, как точное решение уравнений ОТО, что электрический заряд и вселенная - это один объект, рассматриваемый лишь снаружи (частица) и изнутри (вселенная). Что электрический заряд - это горловина. Что масса покоя - это полная масса (гравитационная энергия внутреннего мира на горловине). Что мир и антимир расположены на двух параллельных гиперповерхностях, между которыми расположены "норы" - вселенные, выходящие в мир и антимир своими горловинами - зарядами разных знаков.

Это - простейшая картина. Т.к. Вы знаете, что внутренняя геометрия описывает мир с точностью до деформаций в неком внешнем пространстве, куда он погружён (и которое - такая логика была изложена - может быть частью самого мира), то воображением можно пока приклеивать сколько угодно много ручек и листов Мёбиуса к этому простейшему решению.

В том смысле, что всё это не аргументы против красивой идеи равенства микро- и макромира. Она, переносимая эпосом уже многие тысячи лет, непосредственно следует из ОТО. Неплохо, не так ли.

[Someone]

pc20b писал(а):

Цитата:

Так в Ваших координатах с экстремума тоже нет. Потому что они покрывают ту часть решения Рейснера - Нордстрёма, в которой никакого экстремума заведомо нет. А то, что Вы воспринимаете как экстремум - не более чем фантом, существующий только в Вашем воображении. Я ведь объяснял, откуда здесь берётся этот "минимум".

Объясните, почему два решения, связанные нерегулярными преобразованиями (с нулящимся якобианом на гиперповерхности), покрывают одну и ту же часть решения?

Я уже устал Вам это объяснять. Вы просто не хотите воспринимать никаких объяснений, хотя ситуация совершенно очевидная, и моё мнение основано на утверждении, с которым Вы уже дважды согласились, причём, даже назвали его детсадовским: геометрический объект ни в малейшей степени не зависит от того, в какой системе координат мы его пытаемся описать. При этом регулярность координат также не имеет ни малейшего значения: выбирая нерегулярную систему координат, мы просто создаём себе проблемы, но не меняем самого объекта и его свойств. Например, на том же пространстве-времени Рейснера - Нордстрёма мы можем заменить координату $r$ координатой $\hat r$, связав их формулой $r=g(\hat r)$, где $g(x)$ - функция, определённая здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=13804#13804. Формально мы такую замену сделать можем, так как функция $r=g(\hat r)$ строго возрастающая и всюду имеет конечную первую производную, и даже вычислим "метрический тензор", который будет нигде не дифференцируемым и всюду разрывным (кроме, может быть, счётного множества значений $\hat r$, но мне не хочется это проверять), поэтому мы даже не сможем подставить его в уравнения Эйнштейна, чтобы проверить, будет ли это решением. Тем не менее, это всё то же решение Рейснера - Нордстрёма, только записанное в крайне неудачных координатах.

Вы делаете именно это: берёте область пространства-времени Рейснера - Нордстрёма $r\geqslant 2r_f$ и в этой области делаете замену координаты: $r=\tilde r+\frac{4r_f^2}{\tilde r+2r_f}$, $\tilde r\geqslant 0$. Координата у нас другая, а область пространства-времени та же самая. По определению. И свойства у неё те же самые, нисколько от замены координат не изменяющиеся.

pc20b писал(а):

Цитата:

вводите на части этого объекта свою систему координат и заявляете, что свойства объекта от этого радикально изменились. Причём, ссылаетесь именно на то, что Ваша система координат - плохая (определитель метрического тензора обращается в ноль)

Немного не так. Внешнее вакуумное решение, в котором нет ни экстремума, ни перегиба кривизны радиальных сфер, деформируется нерегулярным преобразованием координатной сетки с нулящимся якобианом (трюк, корректность которого пока не ясна). Деформируется, т.к. из-за зануления якобиана нет взаимно однозначного соответствия между точками областей.

Это просто глупость, потому что здесь работает тот же самый "детсадовский" принцип: от замены системы координат геометрический объект никак не страдает, в частности, он ни в коем случае не деформируется. Взаимно однозначное соответсвие между областями $r\geqslant 2r_f$ и $\tilde r\geqslant 0$ имеется, поскольку Ваша замена координат в этоих областях взаимно однозначна. В конце концов, Вы могли бы сами это проверить, поскольку всё сводится к решению квадратного уравнения с дополнительным условием $\tilde r\geqslant 0$. При любом $r\geqslant 2r_f$ получается единственный корень, удовлетворяющий условию $\tilde r\geqslant 0$.

pc20b писал(а):

Но это вырождение сферической системы координат говорит лишь о том, что она на самой горловине не работает. И это не страшно, т.к. при этом все независящие от системы координат инвариантные величины, как физические, так и геометрические, которые непрерывны вне горловины, остаются конечными на ней.

Ну давайте возьмём другой пример. Как я ранее говорил, после Вашей замены координаты в решении получаются две области: $\tilde r\geqslant 0$ и $-2r_f<\tilde r\leqslant 0$. Они склеены по поверхности $\tilde r=0$. Проверьте пожалуйста, выполняются ли там условия склейки.

pc20b писал(а):

Цитата:

А если склейка корректна, то она будет корректной в любых системах координат

Если применить здесь формальную логику, к которой Вы иногда обращаетесь, то ведь это не так : при корректной склейке существуют системы координат, которые эту склейку описать не смогут. К примеру, координаты кривизн.
(продолжение следует)

Я очень сильно подозреваю, что Вы неправильно понимаете условия склейки. Поскольку я условий Лихнеровича не помню, напишите их, пожалуйста, здесь, с достаточно подробными объяснениями, чтобы я это понял.