конек на льду (другая классическая задача)

[Oleg Zubelevich]

На горизонтальную плоскость льда поставлен закругленный конек так, что лезвие конька касается льда в единственной точке.
Конек может скользить по льду без трения вдоль своего лезвия и крутиться вокруг вертикальной оси проходящей через точку контакта конька и льда. Точка конька, которой он касается льда все время одна и также.
Масса конька равна $m$. Центр масс конька лежит на указанной вертикальной оси, момент инерции конька относительно этой оси равен $J$. Дело происходит в поле силы тяжести.

Описать все возможные траектории, центра масс конька.

Обычно эта задача ставится в чуть более сложной постановке, а именно плоскость считается наклоненной к горизонту.



ps Можно мыслить себе невесомые подпорки, которые скользят по льду без трения и не позволяют коньку завалиться на бок.

[physicsworks]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):

лезвие конька касается льда в единственной точке

Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):

Конек может скользить по льду без трения

Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):

Точка конька, которой он касается льда все время одна и также.

сферический конь конек в вакууме

[Oleg Zubelevich]

вот кстати вопрос "на засыпку": а сколько степеней свободы у этой системы?

[Padawan]

Три? Только движение по этим трем степеням не вполне свободное, удерживающие силы возникают.

[Oleg Zubelevich]

раз движение не совсем свободное заначит не три

[Padawan]

Но в любое же положение можно прийти.

[Oleg Zubelevich]

Введм на плоскости систему декартовых координат $XY$.
Через $(x,y)$ обозначим координаты центра масс конька, $\psi$ -- угол поворота лезвия к оси $X$.
Тогда связь имеет вид $\dot x\sin\psi-\dot y\cos\psi=0$. Трехмерное конфигурационное пространство $(x,y,\psi)$ и одно дополнительное уравнение -- 2 степени свободы. Эта связь неголономна: дифференциальная форма $\omega=\sin\psi dx-\cos\psi dy$ не может быть сделана замкнутой даже при домножении на нетривиальный интегрирующий множитель. Это можно доказать по теореме Фробениуса, но из механических соображений это ясно и так.

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Ок, я просто не знал, какая терминология в неголономных системах. Пусть две степени свободы.

[MajorUrsus]

Из условия задачи неясно каков механизм возникновения момента сил относительно вертикальной оси: конек, вращаясь, своим лезвием направляет движение, но как движение (или что-то другое) воздействует обратно на вращение?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #615609 писал(а):

Oleg Zubelevich
Ок, я просто не знал, какая терминология в неголономных системах. Пусть две степени свободы.

Вы правильно заметили, что система может как угодно путешествовать по трехмерному конфигурационному пространству и тем не менее степеней свободы две , а не три. Это характерно именно для неголономных систем. Если бы форма $h(x,y,\psi)\omega$ ($h\ne 0$ -- некоторая функция) была точна, то связь привелась бы к виду $f(x,y,\psi)=0$ и система не могла бы соскочить с двумерной поверхности.

-- Чт сен 06, 2012 20:12:41 --

MajorUrsus в сообщении #615613 писал(а):

Из условия задачи неясно каков механизм возникновения момента сил относительно вертикальной оси

момент сил относительно вертикальной оси равен нулю

[Oleg Zubelevich]

Будем считать, что плоскость наклонена под углом $\alpha$, декартова система $XY$ лежит в плоскости, ось $X$ идет в направлении спуска, а ось $Y$ горизонтальна,

$$L=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2)+\frac{1}{2}J\dot\psi^2+xF,\quad F=mg\sin\alpha$$

тогда уравнения Даламбера Лагранжа имеют вид

$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}\Big)\delta x+\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial y}\Big)\delta y+\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \psi}-\frac{\partial L}{\partial \psi}\Big)\delta \psi=0,\quad \sin\psi\delta x-\cos\psi\delta y=0.$$

[MajorUrsus]

Oleg Zubelevich в сообщении #615639 писал(а):

момент сил относительно вертикальной оси равен нулю

Но тогда угловая скорость вокруг оси z постоянна?
Если плоскость горизонтальна - то конек движется по окружности.
Если наклонная - то колеблется вдоль оси x и движется вдоль оси y со средней скоростью $\frac {\pi g\sin \alpha}{\omega ^2}$, где $\omega $ - угловая скорость вращения конька вокруг вертикальной оси.

[Oleg Zubelevich]

а почему именно окружность? а как это следует из уравнений движения?

-- Пт сен 07, 2012 20:00:00 --

MajorUrsus в сообщении #615971 писал(а):

Если наклонная - то колеблется вдоль оси x и движется вдоль оси y со средней скоростью $\frac {\pi g\sin \alpha}{\omega ^2}$, где $\omega $ - угловая скорость вращения конька вокруг вертикальной оси.

это все разговоры, нужно уравнения решать

[MajorUrsus]

Прошу прощения - ошибка вышла: средняя скорость вдоль оси y -$\frac {g\sin \alpha}{2\omega}$. Движение чем-то напоминает движение электрона в скрещенных магнитных и электрическом поле.
Я решал через классические уравнения сохранения энергии с условием скольжения и условием постоянства угловой скорости.

[Oleg Zubelevich]

я не умею без формул обсуждать

-- Пт сен 07, 2012 20:41:14 --

Из уравнений Даламбера Лагранжа вытекает следующая система

$$\ddot \psi=0,\quad (m\ddot x-F)\cos\psi+m\ddot y\sin\psi=0,\quad \dot x\sin\psi-\dot y\cos\psi=0.\qquad (*)$$

откуда $\psi=\omega t$.
Эта система имеет перваый интеграл

$$\dot x\cos\psi+\dot y\sin\psi-\frac{F}{m\omega}\sin\psi=c.$$

Вместе с последним уравнением (*) мы получаем систему на $\dot x,\dot y$. Откуда

$$\dot x=\frac{(F\sin\psi+cm\omega)\cos\psi}{m\omega},\quad \dot y=\frac{(F\sin\psi+cm\omega)\sin\psi}{m\omega}.$$