2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение05.09.2012, 19:48 


10/02/11
6786
На горизонтальную плоскость льда поставлен закругленный конек так, что лезвие конька касается льда в единственной точке.
Конек может скользить по льду без трения вдоль своего лезвия и крутиться вокруг вертикальной оси проходящей через точку контакта конька и льда. Точка конька, которой он касается льда все время одна и также.
Масса конька равна $m$. Центр масс конька лежит на указанной вертикальной оси, момент инерции конька относительно этой оси равен $J$. Дело происходит в поле силы тяжести.

Описать все возможные траектории, центра масс конька.

Обычно эта задача ставится в чуть более сложной постановке, а именно плоскость считается наклоненной к горизонту.



ps Можно мыслить себе невесомые подпорки, которые скользят по льду без трения и не позволяют коньку завалиться на бок.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение05.09.2012, 20:55 


07/07/12
402

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):
лезвие конька касается льда в единственной точке
Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):
Конек может скользить по льду без трения
Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):
Точка конька, которой он касается льда все время одна и также.
сферический конь конек в вакууме

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 13:37 


10/02/11
6786
вот кстати вопрос "на засыпку": а сколько степеней свободы у этой системы? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 14:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Три? Только движение по этим трем степеням не вполне свободное, удерживающие силы возникают.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 14:39 


10/02/11
6786
раз движение не совсем свободное заначит не три

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 14:50 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Но в любое же положение можно прийти.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 15:20 


10/02/11
6786
Введм на плоскости систему декартовых координат $XY$.
Через $(x,y)$ обозначим координаты центра масс конька, $\psi$ -- угол поворота лезвия к оси $X$.
Тогда связь имеет вид $\dot x\sin\psi-\dot y\cos\psi=0$. Трехмерное конфигурационное пространство $(x,y,\psi)$ и одно дополнительное уравнение -- 2 степени свободы. Эта связь неголономна: дифференциальная форма $\omega=\sin\psi dx-\cos\psi dy$ не может быть сделана замкнутой даже при домножении на нетривиальный интегрирующий множитель. Это можно доказать по теореме Фробениуса, но из механических соображений это ясно и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 19:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Oleg Zubelevich
Ок, я просто не знал, какая терминология в неголономных системах. Пусть две степени свободы.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 19:22 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Из условия задачи неясно каков механизм возникновения момента сил относительно вертикальной оси: конек, вращаясь, своим лезвием направляет движение, но как движение (или что-то другое) воздействует обратно на вращение?

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 20:05 


10/02/11
6786
Padawan в сообщении #615609 писал(а):
Oleg Zubelevich
Ок, я просто не знал, какая терминология в неголономных системах. Пусть две степени свободы.

Вы правильно заметили, что система может как угодно путешествовать по трехмерному конфигурационному пространству и тем не менее степеней свободы две , а не три. Это характерно именно для неголономных систем. Если бы форма $h(x,y,\psi)\omega$ ($h\ne 0$ -- некоторая функция) была точна, то связь привелась бы к виду $f(x,y,\psi)=0$ и система не могла бы соскочить с двумерной поверхности.

-- Чт сен 06, 2012 20:12:41 --

MajorUrsus в сообщении #615613 писал(а):
Из условия задачи неясно каков механизм возникновения момента сил относительно вертикальной оси

момент сил относительно вертикальной оси равен нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 21:43 


10/02/11
6786
Будем считать, что плоскость наклонена под углом $\alpha$, декартова система $XY$ лежит в плоскости, ось $X$ идет в направлении спуска, а ось $Y$ горизонтальна,
$$L=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2)+\frac{1}{2}J\dot\psi^2+xF,\quad F=mg\sin\alpha$$тогда уравнения Даламбера Лагранжа имеют вид
$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}\Big)\delta x+\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial  y}\Big)\delta y+\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \psi}-\frac{\partial L}{\partial   \psi}\Big)\delta  \psi=0,\quad \sin\psi\delta x-\cos\psi\delta y=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 18:57 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Oleg Zubelevich в сообщении #615639 писал(а):
момент сил относительно вертикальной оси равен нулю

Но тогда угловая скорость вокруг оси z постоянна?
Если плоскость горизонтальна - то конек движется по окружности.
Если наклонная - то колеблется вдоль оси x и движется вдоль оси y со средней скоростью $\frac {\pi g\sin \alpha}{\omega ^2}$, где $\omega $ - угловая скорость вращения конька вокруг вертикальной оси.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 19:56 


10/02/11
6786
а почему именно окружность? а как это следует из уравнений движения?

-- Пт сен 07, 2012 20:00:00 --

MajorUrsus в сообщении #615971 писал(а):
Если наклонная - то колеблется вдоль оси x и движется вдоль оси y со средней скоростью $\frac {\pi g\sin \alpha}{\omega ^2}$, где $\omega $ - угловая скорость вращения конька вокруг вертикальной оси.


это все разговоры, нужно уравнения решать

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 20:06 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Прошу прощения - ошибка вышла: средняя скорость вдоль оси y -$\frac {g\sin \alpha}{2\omega}$. Движение чем-то напоминает движение электрона в скрещенных магнитных и электрическом поле.
Я решал через классические уравнения сохранения энергии с условием скольжения и условием постоянства угловой скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 20:14 


10/02/11
6786
я не умею без формул обсуждать

-- Пт сен 07, 2012 20:41:14 --

Из уравнений Даламбера Лагранжа вытекает следующая система
$$\ddot \psi=0,\quad (m\ddot x-F)\cos\psi+m\ddot y\sin\psi=0,\quad \dot x\sin\psi-\dot y\cos\psi=0.\qquad (*)$$
откуда $\psi=\omega t$.
Эта система имеет перваый интеграл
$$\dot x\cos\psi+\dot y\sin\psi-\frac{F}{m\omega}\sin\psi=c.$$ Вместе с последним уравнением (*) мы получаем систему на $\dot x,\dot y$. Откуда

$$\dot x=\frac{(F\sin\psi+cm\omega)\cos\psi}{m\omega},\quad \dot y=\frac{(F\sin\psi+cm\omega)\sin\psi}{m\omega}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group