2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение05.09.2012, 19:48 
На горизонтальную плоскость льда поставлен закругленный конек так, что лезвие конька касается льда в единственной точке.
Конек может скользить по льду без трения вдоль своего лезвия и крутиться вокруг вертикальной оси проходящей через точку контакта конька и льда. Точка конька, которой он касается льда все время одна и также.
Масса конька равна $m$. Центр масс конька лежит на указанной вертикальной оси, момент инерции конька относительно этой оси равен $J$. Дело происходит в поле силы тяжести.

Описать все возможные траектории, центра масс конька.

Обычно эта задача ставится в чуть более сложной постановке, а именно плоскость считается наклоненной к горизонту.



ps Можно мыслить себе невесомые подпорки, которые скользят по льду без трения и не позволяют коньку завалиться на бок.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение05.09.2012, 20:55 

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):
лезвие конька касается льда в единственной точке
Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):
Конек может скользить по льду без трения
Oleg Zubelevich в сообщении #615214 писал(а):
Точка конька, которой он касается льда все время одна и также.
сферический конь конек в вакууме

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 13:37 
вот кстати вопрос "на засыпку": а сколько степеней свободы у этой системы? :mrgreen:

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 14:35 
Три? Только движение по этим трем степеням не вполне свободное, удерживающие силы возникают.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 14:39 
раз движение не совсем свободное заначит не три

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 14:50 
Но в любое же положение можно прийти.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 15:20 
Введм на плоскости систему декартовых координат $XY$.
Через $(x,y)$ обозначим координаты центра масс конька, $\psi$ -- угол поворота лезвия к оси $X$.
Тогда связь имеет вид $\dot x\sin\psi-\dot y\cos\psi=0$. Трехмерное конфигурационное пространство $(x,y,\psi)$ и одно дополнительное уравнение -- 2 степени свободы. Эта связь неголономна: дифференциальная форма $\omega=\sin\psi dx-\cos\psi dy$ не может быть сделана замкнутой даже при домножении на нетривиальный интегрирующий множитель. Это можно доказать по теореме Фробениуса, но из механических соображений это ясно и так.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 19:14 
Oleg Zubelevich
Ок, я просто не знал, какая терминология в неголономных системах. Пусть две степени свободы.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 19:22 
Из условия задачи неясно каков механизм возникновения момента сил относительно вертикальной оси: конек, вращаясь, своим лезвием направляет движение, но как движение (или что-то другое) воздействует обратно на вращение?

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 20:05 
Padawan в сообщении #615609 писал(а):
Oleg Zubelevich
Ок, я просто не знал, какая терминология в неголономных системах. Пусть две степени свободы.

Вы правильно заметили, что система может как угодно путешествовать по трехмерному конфигурационному пространству и тем не менее степеней свободы две , а не три. Это характерно именно для неголономных систем. Если бы форма $h(x,y,\psi)\omega$ ($h\ne 0$ -- некоторая функция) была точна, то связь привелась бы к виду $f(x,y,\psi)=0$ и система не могла бы соскочить с двумерной поверхности.

-- Чт сен 06, 2012 20:12:41 --

MajorUrsus в сообщении #615613 писал(а):
Из условия задачи неясно каков механизм возникновения момента сил относительно вертикальной оси

момент сил относительно вертикальной оси равен нулю

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение06.09.2012, 21:43 
Будем считать, что плоскость наклонена под углом $\alpha$, декартова система $XY$ лежит в плоскости, ось $X$ идет в направлении спуска, а ось $Y$ горизонтальна,
$$L=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2)+\frac{1}{2}J\dot\psi^2+xF,\quad F=mg\sin\alpha$$тогда уравнения Даламбера Лагранжа имеют вид
$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}\Big)\delta x+\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial  y}\Big)\delta y+\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \psi}-\frac{\partial L}{\partial   \psi}\Big)\delta  \psi=0,\quad \sin\psi\delta x-\cos\psi\delta y=0.$$

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 18:57 
Oleg Zubelevich в сообщении #615639 писал(а):
момент сил относительно вертикальной оси равен нулю

Но тогда угловая скорость вокруг оси z постоянна?
Если плоскость горизонтальна - то конек движется по окружности.
Если наклонная - то колеблется вдоль оси x и движется вдоль оси y со средней скоростью $\frac {\pi g\sin \alpha}{\omega ^2}$, где $\omega $ - угловая скорость вращения конька вокруг вертикальной оси.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 19:56 
а почему именно окружность? а как это следует из уравнений движения?

-- Пт сен 07, 2012 20:00:00 --

MajorUrsus в сообщении #615971 писал(а):
Если наклонная - то колеблется вдоль оси x и движется вдоль оси y со средней скоростью $\frac {\pi g\sin \alpha}{\omega ^2}$, где $\omega $ - угловая скорость вращения конька вокруг вертикальной оси.


это все разговоры, нужно уравнения решать

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 20:06 
Прошу прощения - ошибка вышла: средняя скорость вдоль оси y -$\frac {g\sin \alpha}{2\omega}$. Движение чем-то напоминает движение электрона в скрещенных магнитных и электрическом поле.
Я решал через классические уравнения сохранения энергии с условием скольжения и условием постоянства угловой скорости.

 
 
 
 Re: конек на льду (другая классическая задача)
Сообщение07.09.2012, 20:14 
я не умею без формул обсуждать

-- Пт сен 07, 2012 20:41:14 --

Из уравнений Даламбера Лагранжа вытекает следующая система
$$\ddot \psi=0,\quad (m\ddot x-F)\cos\psi+m\ddot y\sin\psi=0,\quad \dot x\sin\psi-\dot y\cos\psi=0.\qquad (*)$$
откуда $\psi=\omega t$.
Эта система имеет перваый интеграл
$$\dot x\cos\psi+\dot y\sin\psi-\frac{F}{m\omega}\sin\psi=c.$$ Вместе с последним уравнением (*) мы получаем систему на $\dot x,\dot y$. Откуда

$$\dot x=\frac{(F\sin\psi+cm\omega)\cos\psi}{m\omega},\quad \dot y=\frac{(F\sin\psi+cm\omega)\sin\psi}{m\omega}.$$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group