Теорема Хаусдорфа

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614698 писал(а):

Не вижу где тут аксиома выьора.

Вот этот $y$ - он для каждого $Y$ свой. Его выбирают

Короче, если Вы зафиксируете один конкретный $Y$ и для него рассмотрите $y$, то аксиома выбора не нужна. А если Вы хотите рассматривать $y = y(Y)$ как функцию от $Y$, то нужна. У Вас тут как раз второй случай

Вот классический пример. Утверждение: "Объединение счётного числа счётных множеств счётно" без аксиомы выбора не доказуемо. Разберитесь, где конкретно там используется аксиома выбора, и всё станет понятно

[xmaister]

Т.е. изначально известно, что для всякого линейно упорядоченного $X_s,s\in S$ существует $x_s\not\in X_s$, такой что $X_s\cup \{x_s\}$- линейно упорядоченное. Как я понял, о существовании отображения $f:S\to\bigcup\limits_{s\in S}X_s, f(s)=x_s$ мы без аксиомы выбора ничего сказать не можем, правильно?Рассмотрим семейство не пустых подмножеств $\mathcal{A}=\{X\setminus X_s|s\in S\}$. Аксиома выбора говорит, что существует функция выбора $g:\mathcal{A}\to\bigcup\mathcal{A}$, для которой $g\left(X\setminus X_s\right)\in X\setminus X_s$. Почему обязательно должно быть $g\left(X\setminus X_s\right)=x_s$?

[Someone]

Вы не так рассуждаете. Разумеется, такого равенства может и не получиться. Более того, такое (общепринятое) рассуждение формально некорректно. Но существует всеобщая вера в то, что подобное рассуждение всегда можно переделать в корректное с помощью аксиомы выбора. Я и сам всегда рассуждаю в подобном стиле.

Пусть $X$ - частично упорядоченное множество, $S=\{Y\subseteq X:Y\text{ линейно упорядочено}\}$. Заметим, что $S\neq\varnothing$, так как, например, $\varnothing\in S$. Каждому $Y\in S$ поставим в соответствие множество $A_Y=\{x\in X\setminus Y:Y\cup\{x\}\text{ линейно упорядочено}\}$. Обозначим $\mathscr A=\{A_Y:Y\in S\}$.
Если мы предположим, что $A_Y\neq\varnothing$ для всех $Y\in S$, то существует функция выбора $\varphi\colon\mathscr A\to\bigcup\mathscr A$. Вот и попробуйте корректно закончить доказательство с помощью трансфинитной индукции до первого ординала мощности $>\lvert X\rvert$.

[xmaister]

Я вроде понял идею. Берем произвольное линейно упорядоченное $Y=Y_0$ и определяем трансфинитную последовательность типа $\theta$, где $\theta$- наименьший ординал мощности строго больше $|X|$. $Y_{\xi +1}=Y_{\xi}\cup \{\varphi (A_{Y_\xi})\}$ и $Y_{\xi}=\bigcup\limits_{\alpha<\xi}Y_\alpha$, если $\xi$- предельный. $Z=\bigcup\limits_{\alpha<\theta}Y_\alpha$- линейно упорядоченное.

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614864 писал(а):

...где $\theta$- наименьший ординал мощности $|X|$.

$\theta$ - Наименьший ординал, мощность которого строго больше $|X|$

[Someone]

xmaister в сообщении #614864 писал(а):

Берем произвольное линейно упорядоченное $Y=Y_1$ и определяем трансфинитную последовательность типа $\theta$, где $\theta$- наименьший ординал мощности $|X|$. $Y_{xi +1}=Y_{\xi}\cup \{\varphi (Y_\xi)\}$ и $Y_{\xi}=\bigcup\limits_{\alpha<\xi}Y_\alpha$

Опять как-то не так. Зачем Вы выбираете точку из $Y_{\xi}$? Её нужно выбирать из $A_{Y_{\xi}}$. Кроме того, на непредельных и предельных шагах нужны разные действия. (И, конечно, самый первый ординал - $0$, поэтому нужно начинать с какого-нибудь $Y_0\in S$.)

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #614881 писал(а):

Зачем Вы выбираете точку из $Y_{\xi}$?

А где он написал, что $\varphi(Y_\xi) \in Y_\xi$?

[Someone]

Он пользуется моими обозначениями, а я определил $\varphi$ как функцию выбора на семействе $\mathscr A=\{A_Y:Y\in S\}$. Поэтому там должно быть написано $\varphi(A_{Y_{\xi}})$. И вообще, это, по-моему, естественно - указывать в качестве аргумента функции выбора то множество, из которого выбирается элемент.

[Профессор Снэйп]

Давайте я напишу чётко, чтобы xmaster не мучился напрасно.

1) $Y_0 = \varnothing$;
2) $Y_{\alpha + 1} = Y_\alpha \cup \{ \varphi(Y_\alpha) \}$;
3) $\alpha$ - предельный ординал $\Rightarrow Y_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} Y_\beta$;
4) $Y = \bigcup_{\alpha\text{ - ординал}} Y_\alpha$.

$\varphi$ обладает тем свойством, что если $Y$ линейно упорядочено, то $Y \cup \{ \varphi(Y) \}$ линейно упорядочено и $\varphi(Y) \not\in Y$. Существование $\varphi$ гарантируется аксиомой выбора и условием задачи. Существование объединения в третьем пункте гарантируется аксиомами степени, выделения и объединения.

Вроде все правила игры соблюл

-- Ср сен 05, 2012 01:19:44 --

Someone в сообщении #614886 писал(а):

Он пользуется моими обозначениями

Прошу прощения, не заметил. Если $\varphi$ - такое, как у Вас, то его предварительно надо заменить на композицию отображений.

[xmaister]

Поправил. Вопрос по деталям: $Y_0$- линейно упорядоченное. Как строго доказать, что $Y_\alpha$- линейно упорядоченное, для всех $\alpha<\theta$? Интуитивно это ясно. Можно ли что-то типа индукции, только вместо натуральных брать множество ординалов, меньших данного? Как в этом случае идукционный переход тога получить?

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614897 писал(а):

Как в этом случае идукционный переход тога получить?

Рассмотрите два произвольных элемента из $Y_\alpha$ и покажите, что они сравнимы.

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #614902 писал(а):

рассмотрите два произвольных элемента из $Y_\alpha$ и покажите, что они сравнимы.

Нагуглил принцип трансфинитной индукции. Тогда всё ясно, берём 2 случая: $\alpha$- предельный и $\alpha$- не предельный, положив предварительно, что $A_\zeta$- линейно упорядочено для всех $\zeta<\alpha$. Только вот этот принцип трансфинитной индукции это теорема или аксиома. Если теорема, то как доказать?

[Someone]

xmaister в сообщении #614962 писал(а):

Только вот этот принцип трансфинитной индукции это теорема или аксиома.

Теорема. В отличие от принципа индукции в арифметике, где это аксиома (точнее, бесконечное множество аксиом).

xmaister в сообщении #614962 писал(а):

Если теорема, то как доказать?

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.
Смотрите главу VII, § 4.

Замечание. Авторы этой книги почему-то не хотят использовать аксиому регулярности, хотя пишут, что считают её очевидным образом истинной, и вводят аксиому реляционных типов, которую используют, если не ошибаюсь, один раз - чтобы дать своё определение кардинала, не связанное никак с аксиомой выбора. Эти отличия от ZFC малосущественны.

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #614993 писал(а):

xmaister в сообщении #614962 писал(а):

Только вот этот принцип трансфинитной индукции это теорема или аксиома.

Теорема.

Да, теорема

Тут, правда, есть ньюанс. Если мы по трансфинитной индукции доказываем какое-то утверждение, то всё Ок. Но трансфинитная индукция часто используется также и для определения семейства объектов вида $\{ X_\alpha \}$, где $\alpha$ пробегает все ординалы. И вот тут разговор о том, теорема или нет, становится несколько странным, поскольку пропадает утверждение, про которое можно говорить, истинно оно или ложно. Однако проблема правомерности такой конструкции всё же остаётся

Впрочем, если всё расписывать предельно аккуратно, то "присваивания" пропадут, останутся лишь равенства и проблема исчезнет.

[Someone]

У Куратовского с Мостовским первая теорема из указанного параграфа называется "об определении по трансфинитной индукции". И речь идёт именно об определении трасфинитной последовательности, то есть, функции на некотором множестве ординалов.