Теорема Хаусдорфа

[xmaister]

Как из аксиомы выбора вывести теорему Хаусдорфа: Каждое частично упорядоченное множество содержит максимальное линейно упорядоченное подмножество.

[Oleg Zubelevich]

Ван Дер Варден Алгебра

[xmaister]

Oleg Zubelevich, к сожалению нет вожможности скачать эту книгу . Был бы Вам признателен, если дадите на водку.

[Someone]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #613839 писал(а):

Был бы Вам признателен, если дадите на водку.

А какую водку Вы хотите купить?

Рассмотрите множество всех линейно упорядоченных подмножеств. Оно частично упорядочено по включению, и каждая цепь ограничена сверху. Далее сошлитесь на лемму Цорна, которая эквивалентна аксиоме выбора.
Или Вам непосредственно из аксиомы выбора надо вывести?

[xmaister]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #613877 писал(а):

А какую водку Вы хотите купить?

С телефона пишу, Т9 будь он не ладен

Да, хотелось бы непосредственно из аксиомы выбора этот результат получить, не пользуясь эквивалентной ей формулировками.

[Oleg Zubelevich]

А у Вардена тоже доказывается эквивалентность леммы Цорна и аксиомы выбора. Естессна

[xmaister]

Oleg Zubelevich, я знаю как из аксиомы выбора вывести лемму Цорна. Возможен ли вариант доказательства без не явного ее использования? Т.е неявно все равно придется сперва лемму Цорна доказывать?

[muzeum]

Рассмотрите функцию выбора, которая каждому не максимальному линейно упорядоченному подмножеству ставит в соответствие некоторое содержащее его линейно упорядоченное подмножество. Трансфинитной рекурсией приведите к противоречию предположение о том, что функция определена для всех линейно упорядоченных подмножеств.

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614041 писал(а):

Т.е неявно все равно придется сперва лемму Цорна доказывать?

Ну по сути да, конечно. Ведь утверждение, которое просят доказать, есть ничто иное, как частный случай леммы Цорна.

-- Вт сен 04, 2012 00:29:22 --

muzeum в сообщении #614104 писал(а):

Рассмотрите функцию выбора, которая каждому не максимальному линейно упорядоченному подмножеству ставит в соответствие некоторое содержащее его линейно упорядоченное подмножество. Трансфинитной рекурсией приведите к противоречию предположение о том, что функция определена для всех линейно упорядоченных подмножеств.

Это Вы почти дословно стандартное доказательство леммы Цорна воспроизвели

[muzeum]

Цитата:

Это Вы почти дословно стандартное доказательство леммы Цорна воспроизвели

Ваша правда, уважаемый Профессор Снэйп. И это правда:

Цитата:

Ну по сути да, конечно. Ведь утверждение, которое просят доказать, есть ничто иное, как частный случай леммы Цорна.

[xmaister]

Не получается. Пусть $\{X_s\}_{s\in S}$ семейство всех линейно упорядоченных подмножеств частично упорядрченного $X$ и $f:S\to\bigcup\limits_{s\in S}X_s$- функция выбора. Для любого $s \in S$ существует $t\in S$, такое что $f(s)\not\in X_t$. Для всякого такого $t$ существует $m\in S$ для которого $X_t$- собственное подмножество $X_m$, такое что $f(t)\not\in X_m$. Далее по трансфинитной индукции определю линейно упорядоченное $Y=\bigcup \limits_{\zeta<\xi}X_\zeta$, где $\zeta$- ординал, вполне упорядочивающий $S$. Я хотел найти линейно упорядоченное множество, функция выбора которой не принадлежит $\bigcup \limits_{s \in S}$, но что-то не заладилось...

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614513 писал(а):

Не получается. Пусть $\{X_s\}_{s\in S}$ семейство всех линейно упорядоченных подмножеств частично упорядрченного $X$ и $f:S\to\bigcup\limits_{s\in S}X_s$- функция выбора. Для любого $s \in S$ существует $t\in S$, такое что $f(s)\not\in X_t$. Для всякого такого $t$ существует $m\in S$ для которого $X_t$- собственное подмножество $X_m$, такое что $f(t)\not\in X_m$. Далее по трансфинитной индукции определю линейно упорядоченное $Y=\bigcup \limits_{\zeta<\xi}X_\zeta$, где $\zeta$- ординал, вполне упорядочивающий $S$. Я хотел найти линейно упорядоченное множество, функция выбора которой не принадлежит $\bigcup \limits_{s \in S}$, но что-то не заладилось...

А что не заладилось? У Вас $\xi$ - это кардинал, больший, чем мощность $X$. Получите противоречие $|X| > |X|$

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #614605 писал(а):

У Вас $\xi$ - это кардинал, больший, чем мощность $X$.

Почему? И не понятно тогда, зачем аксиома выбора? Я могу взять ппозвольнье множество $X_t$ и тоже опредеоить линейно упорядоченное мнжество по трансфинитной индукции $Y=\bigcup\limits_{\zeta<\xi}$...

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614633 писал(а):

И не понятно тогда, зачем аксиома выбора?

Она нужна, чтобы для произвольного линейно упорядоченного $Y \subseteq X$ выбрать $y \not\in Y$, для которого $Y \cup \{ y \}$ также линейно упорядочено.

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #614645 писал(а):

Она нужна, чтобы для произвольного линейно упорядоченного $Y \subseteq X$ выбрать $y \not\in Y$, для которого $Y \cup \{ y \}$ также линейно упорядочено.

Я, наверное, чего-то не понимаю. Мы предположили, что не существует максимальных линейно упорядоченных подмножеств. Тогда каждое линейно упорядоченное $Y\subset X$ является собственным подмножеством некоторого линейно упорядоченного $Y_1$. Значит существует $y\not\in Y$, такое что $Y\cup \{y\}$- линейно упорядочено. Не вижу где тут аксиома выьора. Или мои рассуждения не верны?