Бесконечность простых чисел-близнецов

[hurtsy]

megamix62 в сообщении #614334 писал(а):

$P^k({n+1})-P^k({n})<1 ? $
где $k=1/2$, $P({n+1}),P({n})$ - простые числа

А как из этого получить плотность, обсуждаемую выше и получить её нетривиальную оценку снизу? С уважением,

[Руст]

Цитата:

$P^k({n+1})-P^k({n})<1 ? $
где $k=1/2$, $P({n+1}),P({n})$ - простые числа

Как я понимаю, вы так изобразили не доказанную гипотезу о том, что между квадратами двух последовательных чисел всегда существует простое число.
Даже если это удалось доказать, оно ничего не даст о распределении простых близнецов, обсуждаемую здесь.

[vicvolf]

Руст! Пожалуйста, Ваше мнение о сказанном ниже?

vicvolf в сообщении #614267 писал(а):

В теореме 1 я беру среднюю плотность близнецов по всей ПСВ(М). Средняя плотность близнецов с ростом x падает по формуле $c/ln^2 x$. Таким образом, в начале ПСВ на отрезке $p_{r+1}, p^2_{r+1}$ средняя плотность близнецов выше средней плотности близнецов по всей ПСВ(М). Следовательно, беря на этом отрезке среднюю плотность близнецов по всей ПСВ(М), я ее занижаю по сравнению со средней на отрезке. Однако, не смотря на занижение средней плотности на этом отрезке, и дальше считая что такая заниженная плотность близнецов сохраняется везде среди простых чисел я в результате все таки получаю бесконечное число пар близнецов, что доказывает утверждение.

[Руст]

Я уже сказал, что средняя плотность не имеет никакого отношения к реальной плотности (количеству) в не полном объеме, пока не доказано равномерность распределения. А тут точно нет равномерности в малых порядка $\ln^2 M$ интервалах. Я выше предлагал разобраться оценить такие ПСВ хотя бы в интервале $(M/4, 3M/4). Тогда поймете как важно равномерность.

[vorvalm]

Руст
Предлагаемое мной доказательство бесконечности простых близнецов
ничего общего со средней плотностью не имеет.
ПСВ(0,5М, 1,5М) я использую не для доказательства симметричности вычетов.
Это свойство присуще всем упорядоченным ПСВ.
Дело в том, что в ПСВ вычеты и их группы подчиняются элементарным закономерностям
функций $\varphi_n(M)=\prod(p-n)$ при $p>n$, при $p\leqslant n, \;\varphi_n(p)=1.$
Например, при $n=1$ это обыкновенная функция Эйлера $ \varphi(M)=\prod(p-1)$ дает число вычетов в ПСВ.
$\varphi_2(M)=\prod(p-2)$ дает число близнецов в ПСВ (простых и не очень).
$\varphi_3(M)=\prod(p-3)$ дает число групп из 3-х вычетов:(2,4),(4,2).
$\varphi_4(M)=\prod(p-4)$ дает число групп из 4-х вычетов:(2,4,2),(4,2,4)
$\varphi_6(M)=\prod(p-6)$ дает число групп из 6-и вычетов:(4,2,4,2,4)
Для более сложных групп необходим коэффициент $A_n.$
Методика доказательства бесконечности любых групп среди простых чисел.
1. Надо доказать, что данные группы существуют в ПСВ. Это несложно.
2. Надо доказать, что хотя бы одна из этих групп есть в интервале ($p_{r+1}^2,p_{r+1}$). Это гораздо сложнее.

Наличие хотя бы одной группы в этом интервале доказывает их бесконечность среди простых чисел,
т.к. в выборе модуля ПСВ мы не ограничены.

[Руст]

vorvalm в сообщении #614631 писал(а):

Дело в том, что в ПСВ вычеты и их группы подчиняются элементарным закономерностям
функций $\varphi_n(M)=\prod(p-n)$ при $p>n$, при $p\leqslant n, \;\varphi_n(p)=1.$

Неправильно. Точнее количество вычетов х по модулю М таких, что $(x+d_1,x+d_2,...,x+d_n)$ взаимно просты с М задается формулой:
$\phi_n(M)=M\prod_{p|M}\frac{p-n(p)}{p}$, где $n(p)$ количество различных среди $d_i\mod p$.
Ваше доказательство не правильное. Доказательство можно получить из китайской теоремы об остатках: $Z/mnZ=Z/mZ+Z/nZ$ для колец вычетов, при $(m,n)=1$. Можно доказать непосредственно по аналогии с доказательством китайской теоремы.

Цитата:

Методика доказательства бесконечности любых групп среди простых чисел.
2. Надо доказать, что хотя бы одна из этих групп есть в интервале ($p_{r+1}^2,p_{r+1}$). Это гораздо сложнее.

[/quote][/quote]
Этого то и вовсе нет у вас.

[vorvalm]

Совершенно верно!
Я, как пример, привел несколько групп вычетов, у которых $n(p)=n.$
Если $n(p)\ne n,$ то к функции $\varphi_n(M)$ необходимо найти коэффициент $A_n$,
причем, если $n(p)>n,$ то такой группы может и не быть в ПСВ

Доказательство наличия группы в интервале индивидуальное для конкретной группы.

[Руст]

vorvalm в сообщении #614655 писал(а):

Совершенно верно!

причем, если $n(p)>n,$ то такой группы может и не быть в ПСВ

Как может количество разных по модулю p $n(p)$ может быть больше n.
очевидно $n(p)\le min(n,p)$.

[vorvalm]

Руст в сообщении #614723 писал(а):

Как может количество разных по модулю p $n(p)$ может быть больше n.
очевидно $n(p)\le min(n,p)$.

Да, для групп, сущестующих в ПСВ это так и есть.
Но если вы захотите определить число групп, о существовнии которых в ПСВ вы не знаете,
то первый признак того, что таких групп нет в ПСВ и будет $n(p)>n.$

[Руст]

vorvalm в сообщении #614732 писал(а):

Руст в сообщении #614723 писал(а):

Как может количество разных по модулю p $n(p)$ может быть больше n.
очевидно $n(p)\le min(n,p)$.

Да, для групп, сущестующих в ПСВ это так и есть.
Но если вы захотите определить число групп, о существовнии которых в ПСВ вы не знаете,
то первый признак того, что таких групп нет в ПСВ и будет $n(p)>n.$

По определению $n(p)\le p$, при $n(p)=p$ количество ваших ПСВ равно 0. Например среди $d_i$ есть как четные, так и нечетные, тогда $n(2)=2$.

[vorvalm]

Да, конечно, критерий $n(p)=p$ так же является показателем отсутствия групп в ПСВ. Это видно из формулы.

[vicvolf]

Руст в сообщении #614576 писал(а):

А тут точно нет равномерности в малых порядка $\ln^2 M$ интервалах.

Никто не сомневается в неравномерности распределения плотности близнецов среди простых чисел и ПСВ. Как доказывалось, она асимтотически падает с ростом x, как $c/ln^2 x$. Поэтому: $\pi_2 (x) \sim c\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}$.
Оценим $c\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}>\frac {c(x-2)} {ln^2 x}$. Перейдем к пределу:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\pi_2 (x)} \geq c \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-2} {ln^2 x}}= c\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {2ln x}}=c\lim\limits_{x \to \infty} {\frac {x} {2}}=\infty$.
Следовательно $\pi_2(\infty)=\infty$

[Руст]

vicvolf в сообщении #614846 писал(а):

Руст в сообщении #614576 писал(а):

А тут точно нет равномерности в малых порядка $\ln^2 M$ интервалах.

Никто не сомневается в неравномерности распределения плотности близнецов среди простых чисел и ПСВ. Она асимтотически падает с ростом x, как $c/ln^2 x$. Поэтому: $\pi_2 (x) \sim c\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}$.

ПСВ определяется на интервале $M=\prod_{p\le x} p, \ln M =x(1+o(1))$. Даже для простых бывают пробелы порядка $\ln^2 M$, соответственно вполне может быть ни одного ПСВ_2 (ни одного близнеца в таком малом интервале по сравнению с М). Я просил их оценить снизу в половине интервала (М/4,3M/4), пока от вас не последовало даже тривиальной оценки, что там все таки есть некоторое количество ПСВ_2.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #614846 писал(а):

она асимтотически падает с ростом x, как $c/ln^2 x$. Поэтому: $\pi_2 (x) \sim c\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}$.

Руст! Эта оценка не для ПСВ. а для простых чисел. Она вполне соответствует гипотезе Харди-Литвуда - $\pi_2 (x) \sim 2c_2 \int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln^2 t}}$, где $c_2=0,66...$.

[Руст]

Очевидно, что эта гипотеза сильнее бесконечности близнецов. Но это гипотеза. А вы хотите доказать бесконечность, соответственно не имеете право опираться на гипотезу. Надо находить нетривиальную нижнюю оценку, которую еще никто не сумел найти (обоснованную).