Асимптотика выражения [вероятности, комбинаторика]

[luitzen]

Ребята, хочется иметь какую-то (красивую) асимптотику для
{\sum\limits_{k=1}^{n}}\;{\left(\frac{n-k}{n}\right)}^{m} \cdot C^k_n \cdot (-1)^{k+1}

Задача была такая.
Пусть у меня есть m друзей. Какова вероятность того, что хотя бы раз в году мне не придётся праздновать чей-либо день рождения? Предполагается, что «рождаемость» распределена по «дате» равномерно, и в году ровно n дней.
Являюсь гуманитарием и, возможно, неосознанно нарушил какие-то из правил этого раздела. Заранее сорри.

[PAV]

Чтобы говорить об асимптотике, нужно сначала определиться с тем при каких условиях эта асимптотика ищется. Если у Вас есть несколько параметров, то для каждого из них нужно указать, является ли он константой или стремится к бесконечности. Если несколько параметров стремятся к бесконечности, то нужно уточнить, как они связаны друг с другом. При разных условиях асимптотика может быть разной.

Данная задача имеет смысл только при $m\ge n$. Наиболее естественным представляется считать, что $n=\mbox{const}$, а $m\to\infty$. Так ли это?

[luitzen]

PAV писал(а):

Данная задача имеет смысл только при $m\ge n$. Наиболее естественным представляется считать, что $n=\mbox{const}$, а $m\to\infty$. Так ли это?

Да-да.

[RIP]

При $n=const$ сумма будет состоять из ограниченного числа слагаемых, слагаемое, соответствующее $k=1$, будет самым "большим", т.е. если обозначить сумму через $S$, то $S\sim n(1-1/n)^m$, $m\to\infty$. Даже необязательно требовать ограниченности $n$. Надо только, чтобы $n$ росло не слишком быстро по отношению к $m$. Например, отношение $S:n(1-1/n)^m$ будет стремиться к 1 с ростом $m$ равномерно по $n\leqslant \frac m{\ln m}$

[RIP]

Кстати, сумма "почти" считается.

$$S=1-\frac{n!}{n^m}S(m,n),$$

где $S(m,n)~-$ числа Стирлинга второго рода.