2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотика выражения [вероятности, комбинаторика]
Сообщение12.04.2007, 12:50 
Заслуженный участник


18/03/07
1068
Ребята, хочется иметь какую-то (красивую) асимптотику для
{\sum\limits_{k=1}^{n}}\;{\left(\frac{n-k}{n}\right)}^{m} \cdot C^k_n \cdot (-1)^{k+1}

Задача была такая.
Пусть у меня есть m друзей. Какова вероятность того, что хотя бы раз в году мне не придётся праздновать чей-либо день рождения? Предполагается, что «рождаемость» распределена по «дате» равномерно, и в году ровно n дней.
Являюсь гуманитарием и, возможно, неосознанно нарушил какие-то из правил этого раздела. Заранее сорри.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2007, 13:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Чтобы говорить об асимптотике, нужно сначала определиться с тем при каких условиях эта асимптотика ищется. Если у Вас есть несколько параметров, то для каждого из них нужно указать, является ли он константой или стремится к бесконечности. Если несколько параметров стремятся к бесконечности, то нужно уточнить, как они связаны друг с другом. При разных условиях асимптотика может быть разной.

Данная задача имеет смысл только при $m\ge n$. Наиболее естественным представляется считать, что $n=\mbox{const}$, а $m\to\infty$. Так ли это?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2007, 14:13 
Заслуженный участник


18/03/07
1068
PAV писал(а):
Данная задача имеет смысл только при $m\ge n$. Наиболее естественным представляется считать, что $n=\mbox{const}$, а $m\to\infty$. Так ли это?


Да-да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2007, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
При $n=const$ сумма будет состоять из ограниченного числа слагаемых, слагаемое, соответствующее $k=1$, будет самым "большим", т.е. если обозначить сумму через $S$, то $S\sim n(1-1/n)^m$, $m\to\infty$. Даже необязательно требовать ограниченности $n$. Надо только, чтобы $n$ росло не слишком быстро по отношению к $m$. Например, отношение $S:n(1-1/n)^m$ будет стремиться к 1 с ростом $m$ равномерно по $n\leqslant \frac m{\ln m}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2007, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Кстати, сумма "почти" считается.
$$S=1-\frac{n!}{n^m}S(m,n),$$
где $S(m,n)~-$ числа Стирлинга второго рода.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group