Задача по теории чисел

[Whitaker]

Здравствуйте, друзья!
Доказать, что для любого целого $n$ существуют целые $a$ и $b$ такие, что $n=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}]$

С чего начать подскажите пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

[arseniiv]

Может быть, есть смысл рассмотреть множества $\{[a\sqrt2] : a\in\mathbb Z\}$ и $\{[b\sqrt3] : b\in\mathbb Z\}$. Каких элементов в каждом из них нет, какие есть…

Или переписать в неравенствах: $n = \lfloor x \rfloor \Leftrightarrow n \leqslant x < n + 1 \Leftrightarrow x - 1 < n \leqslant x$.

[Whitaker]

arseniiv
Я вроде так попробовал:
Пусть $[a\sqrt{2}]=k$, тогда $[b\sqrt{3}]=n-k$
Имеем отсюда два неравенства:
$k<a\sqrt{2}<k+1$ и $n-k<b\sqrt{3}<n-k+1$
Делим первое на $\sqrt{2}$, а второе на $\sqrt{3}$ и затем можно получить, что:
$a=-\Big[-\dfrac{k}{\sqrt{2}}\Big], b=-\Big[-\dfrac{n-k}{\sqrt{3}}\Big]$
Но дает ли это что-нибудь?

[Shadow]

$[\sqrt 2(a+1)]-[\sqrt 2a]<3$
Т.е последовательность $[\sqrt 2a]$ пропускает не более одного целого числа.
А другое множество может состоять только из 2-х чисел: 0 и 1.

[Whitaker]

Пусть $A=\{[a\sqrt{2}]: a\in \mathbb{Z}\}, B=\{[b\sqrt{3}]: b\in \mathbb{Z}\}$.
В множествах $A$ и $B$ элементы строго возрастают.
Как написал Shadow
$0<[(a+1)\sqrt{2}]-[a\sqrt{2}]\leqslant 2$, т.е. множество $A$ пропускает не более одного целого числа.
Если я не ошибься, точно такое же свойство у множества $B$
$0<[(b+1)\sqrt{3}]-[b\sqrt{3}]\leqslant 2$, т.е. множество $B$ также пропускает не более одного целого числа.
С этим вроде разобрался.
Но что дальше? Я пока связь не уловил.

[Shadow]

Whitaker в сообщении #612623 писал(а):

Но что дальше? Я пока связь не уловил.

Ну..нужно получить число 17. Смотрим в первое множество, есть 17? - Нету. Значит обязательно есть 16. А в другое - единичка. Складываем, получаем 17.

[arseniiv]

(Опоздал.)

Whitaker в сообщении #612623 писал(а):

В множествах $A$ и $B$ элементы строго возрастают.

Не сказал бы… Множество же неупорядочено.

Whitaker в сообщении #612623 писал(а):

Но что дальше? Я пока связь не уловил.

Т. к. $\{0, 1\} \in B$, в результате можно получить все имеющиеся в $A$ числа и все пропущенные в нём, добавляя 1 к имеющемуся.

[Whitaker]

arseniiv
почему не упорядочено?
В первом множестве элементы идут по возрастанию... да и в множестве $B$ элементы также идут по возрастанию. Так ведь?
Наверное я некорректно выразился.

[arseniiv]

Если бы это были функции — типа $A\colon \mathbb Z \to \mathbb Z = a \mapsto \lfloor a\sqrt2 \rfloor$ — то, конечно, всё так. А у множества никакого «направления» нет!

[Whitaker]

arseniiv Shadow
Спасибо Вам за помощь в решении задачи!
Благодарю!