Свойство ряда Фарея [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Доказать, что в ряда Фарея $F_n$ при $n>1$ нет двух соседних дробей с одинаковыми знаменателями.
Моя попытка решения: От противного. Пусть все-таки $\frac{a}{b}, \frac{c}{b}$-две последовательные дроби в $F_n$ при $n>1$ и $a<c$.
Нетрудно убедиться, что $a<b-1$. Имеем цепочку неравенств: $\frac{a}{b}<\frac{a}{b-1}<\frac{a+1}{b}\leqslant\frac{c}{b}$.
Где здесь взять противоречие?
Напомню, что $F_n:=\Big\{\dfrac{a_i}{b_i}:0\leqslant a_i \leqslant b_i \leqslant n, \text{gcd}(a_i, b_i)=1, \dfrac{a_i}{b_i}<\dfrac{a_{i+1}}{b_{i+1}} \Big\}$
С уважением, Whitaker.

[ИСН]

Там вроде как из двух соседних дробей одна обязательно является потомком другой.

[Whitaker]

ИСН
вряд ли это используется здесь.
Оказывается это так называемая теорема Фарея-Коши-Хароша.
И там делается аналогичное рассуждение как я написал. И пишется, что получается противоречие.
Но противоречия я что-то не вижу
Где противоречие? Можете указать?

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #612411 писал(а):

Имеем цепочку неравенств: $\frac{a}{b}<\frac{a}{b-1}<\frac{a+1}{b}\leqslant\frac{c}{b}$.
Где здесь взять противоречие?

Противоречие в том, что дроби $a/b$ и $c/b$ уже не будут соседними в ряду Фарея --- между ними втиснуты ещё две дроби.

[Whitaker]

nnosipov
Теперь все понятно.
Благодарю Вас за помощь.
А то ночью перед сном уже мало что понимал