Полная, но не замкнутая система векторов

[Marilym]

Задача: привести пример полной, но не замкнутой ортонормированной системы в унитарном пространстве.

На всякий случай: ортонормированная система векторов называется полной, если не существует ненулевого вектора, ортогонального всем векторам системы. Система называется замкнутой, если ее линейная оболочка плотна в данном пространстве.

Задачу встречала в нескольких учебниках, но нигде не могу найти даже намек на решение. Помогите, пожалуйста.

[RIP]

В качестве пространства можно взять подпространство в $l_2$ с базисом $e_n=(0,\ldots,0,\overset{n}{1},0,\ldots)$, $n\geqslant2$, и $\varepsilon=(1,1/2,1/3,1/4,\ldots)$ (т.е. всевозможные конечные линейные комбинации этих векторов).

[Dan_Te]

Начал вспоминать функан и совсем запутался.
RIP, система $e_n$ тотальна уже в $l_2$, так что непонятно, что вы предлагаете взять в качестве полной системы в вашем подпространстве. А вот если из векторов $e_n$ какой-нибудь один выкинуть, тогда все получится.

upd: ага, теперь правильно.

[Marilym]

По-моему, $l_2$ брать вообще нельзя. Насколько я понимаю, в гильбертовом пространстве понятия замкнутой и полной системы эквивалентны.

[RIP]

Берётся не $l_2$, а его (незамкнутое) подпространство.

[Marilym]

Да действительно. В прошлый раз невнимательно прочитала. Спасибо за помощь!