2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Полная, но не замкнутая система векторов
Сообщение11.04.2007, 21:32 
Задача: привести пример полной, но не замкнутой ортонормированной системы в унитарном пространстве.

На всякий случай: ортонормированная система векторов называется полной, если не существует ненулевого вектора, ортогонального всем векторам системы. Система называется замкнутой, если ее линейная оболочка плотна в данном пространстве.

Задачу встречала в нескольких учебниках, но нигде не могу найти даже намек на решение. Помогите, пожалуйста.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2007, 00:05 
Аватара пользователя
В качестве пространства можно взять подпространство в $l_2$ с базисом $e_n=(0,\ldots,0,\overset{n}{1},0,\ldots)$, $n\geqslant2$, и $\varepsilon=(1,1/2,1/3,1/4,\ldots)$ (т.е. всевозможные конечные линейные комбинации этих векторов).

 
 
 
 
Сообщение12.04.2007, 01:01 
Начал вспоминать функан и совсем запутался.
RIP, система $e_n$ тотальна уже в $l_2$, так что непонятно, что вы предлагаете взять в качестве полной системы в вашем подпространстве. А вот если из векторов $e_n$ какой-нибудь один выкинуть, тогда все получится.

upd: ага, теперь правильно.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2007, 20:55 
По-моему, $l_2$ брать вообще нельзя. Насколько я понимаю, в гильбертовом пространстве понятия замкнутой и полной системы эквивалентны.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2007, 22:13 
Аватара пользователя
Берётся не $l_2$, а его (незамкнутое) подпространство.

 
 
 
 
Сообщение15.04.2007, 19:38 
Да действительно. В прошлый раз невнимательно прочитала. Спасибо за помощь! :)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group