2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение29.08.2012, 10:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
$5^n - 1 = 2^m - 4$
$(5 - 1)(5^{n-1} + 5^{n-2} + \ldots + 5 + 1) = 2^m - 4$
$5^{n-1} + \ldots + 5 + 1 = 2^{m-2} - 1$
$5(5^{n-2} + \ldots + 1) = 2(2^{m-3} - 1)$

Интересно, отсюда что-нибудь можно выжать?

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение29.08.2012, 12:04 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Профессор Снэйп в сообщении #612132 писал(а):
Интересно, отсюда что-нибудь можно выжать?
Не знаю, надо пробовать. Вообще, вопрос о каноническом решении этой задачи (том, которое подразумевалось составителями этой испанской олимпиады), не такой уж простой. Сейчас мне уже кажется, что это решение, предложенное Рустом. Что-то не получается у меня убедиться в корректности решения Shadow: с одной серией понятно, а с другой --- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение29.08.2012, 12:56 


26/08/11
2108
nnosipov в сообщении #612145 писал(а):
Что-то не получается у меня убедиться в корректности решения Shadow: с одной серией понятно, а с другой --- нет.
Вы имеете в виду ту, которая начинается с (8,5)
$\\8,5\\
302,191\\
11468,7253\\
435482,275423\\
16536848,10458821\\
...
$
Достаточно проверить только для иксов, там рекурентная формула $x_n=38x_{n-1}-x_{n-2}$
И остатки по модулю 112 соответно:
$8,78,44,26,48,6,68,2$
А у степеней двойки по модулю 112: $16,32,64$
Я в Excel проверял.Но такой способ решения на олимпиаде, естественно, не подразумевается.

-- 29.08.2012, 12:57 --

А в другой серии остатки те же, только в обратном порядке...

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение30.08.2012, 08:24 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Shadow, всё в порядке, это я забыл на двойку поделить. Т.е. фактически решено уравнение $5y^2+3=2^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение08.09.2012, 21:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Sonic86 в сообщении #611748 писал(а):
Пора бы уже в общем виде алгоритм решения написать + теоремы.

Алгоритм у меня есть реализованный в PARI/GP, а кое-какие теоремы написаны тут: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102724775

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение09.09.2012, 17:38 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
maxal, а что Ваш алгоритм выдаёт в этом случае? Поменьше, чем в post611754.html#p611754?

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение09.09.2012, 17:54 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
nnosipov в сообщении #616652 писал(а):
maxal, а что Ваш алгоритм выдаёт в этом случае? Поменьше, чем в post611754.html#p611754?

В данном случае выдает 3355392. Но у него нет цели минимизировать модуль - возможно, существует и что-то меньшее.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение09.09.2012, 18:01 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
maxal в сообщении #616660 писал(а):
В данном случае выдает 3355392
Так это даже лучше, поскольку простые делители здесь маленькие.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение09.09.2012, 19:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
nnosipov в сообщении #616663 писал(а):
maxal в сообщении #616660 писал(а):
В данном случае выдает 3355392
Так это даже лучше, поскольку простые делители здесь маленькие.

Только вряд ли здесь можно решить с этим модулем в одну строчку (без компьютера). Я модуль $p=641$ взял как делитель числа Ферма $F_5$, когда все вычисляется удобно для уравнения содержащего $2^n$. Раньще я решал такие задачи сведением к Пелля (в том числе здесь). Решать через подходящий модуль несколько нестандартно (нахождение такого модуля), однако в нем больший потенциал. Такой метод позволяет решить уравнения $\sum_{i=1}^k a_i c_i^n=m$ при заданных $a_i,c_i\in Z$ при любом k, не только при $k=2$ как сведение к Пелля.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение09.09.2012, 19:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Руст в сообщении #616691 писал(а):
однако в нем больший потенциал
Видимо, да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group