Взаимодействие зарядов в СТО

[fallex]

Здравствуйте, у меня в процессе изучения СТО родился вопрос.

Рассмотрим бесконечно длинную линию (тонкую проволоку), по которой распределены заряды (пусть положительные) с какой-то плотностью m. На некотором расстоянии h от линии находится заряд q. Теперь выберем две системы координат S и S'. Оси этих систем направлены в пространстве одинаково. Пусть оси x и x' направлены параллельно заряженной линии. В лабораторной системе S заряженная линия покоится. При этом пусть система S' подвижная и движется относительно лабораторной системы S с какой-то скоростью u вдоль оси x. А заряд q пусть движется с некоторой скоростью v' относительно системы s' опять же параллельно оси x.
В лабораторной системе сила, действующая на заряд, совершенно не зависит от его скорости и равна F=qE, где E легко посчитать. Если же мы перейдём в движущуюся систему S' и посчитаем силу там, то получится, что сила, действующая на движущийся заряд, зависит от его скорости.
При этом в лабораторной системе эта сила будет равна F=qE(1+uv').

Вопрос: в чём ошибка?

[venco]

В S' заряды "линии" движутся и порождают магнитное поле, которое тоже действует на пробный заряд q. Учтите эту силу и всё сойдётся.

[fallex]

Так я вроде уже учёл.
Записываю преобразования полей для движущейся системы S'. В ней электрическое поле изменяется на гамма-фактор и появляется ещё магнитное. Записываю силу Лоренца F=qE'+q*[v' x B']. Уже отсюда видно, что сила зависит от v'. А в лабораторной системе сила не зависит от v' никак. Теперь если эту силу преобразовать обратно в лабораторную систему координат, то и получаю F=qE(1+uv'). Что в моих рассуждениях неверно?

[Munin]

Не забудьте написать преобразования не только полей, но и самих зарядов. Покоящийся заряд имеет 4-векторную плотность тока $(\rho,0),$ а движущийся - уже $(\rho',\rho'\mathbf{v}').$ Сила Лоренца на точечный заряд $qF^{\mu\nu}u_{\nu}$ (всё в $c=1,$ потому что мне лень вспоминать где что).

[svv]

Пусть $\gamma(u)=\frac 1 {\sqrt{1-u^2}}$ и т.д.

В системе $S$ у электрического поля ненулевая компонента только $E_y$, магнитное поле равно нулю.
У силы, действующей на заряд, ненулевая только компонента $F_y=q E_y$.

В системе $S'$ отличны от нуля компоненты:
$\\E'_y=\gamma(u) E_y \\ B'_z=-\gamma(u) u E_y\\F'_y=q(E'_y-v' B'_z)=\gamma(u) (1 + v' u) q E_y = \gamma(u) (1 + v' u) F_y$
Этот результат получили и Вы.

Оказывается, $\gamma(u)(1+v'u)=\frac{\gamma(v)}{\gamma(v')}$.

(Подробности)

$\gamma(v)=\dfrac 1{\sqrt{1-v^2}}=\dfrac 1{\sqrt{ 1-\frac{(u+v')^2}{(1+uv')^2} }}=\dfrac{1+uv'}{\sqrt{(1+uv')^2-(u+v')^2}}=$
$=\dfrac{1+uv'}{\sqrt{1+u^2 v'^2 -u^2-v'^2}}=\dfrac{1+uv'}{\sqrt{(1-u^2)(1-v'^2)}}=\gamma(u)\gamma(v')(1+uv')$

Поэтому
$\gamma(v')F'_y=\gamma(v)F_y$

Но это и есть правильный закон преобразования $y$-компоненты силы. Он легко получается из того, что для $y$-компоненты 4-силы справедливо $f'_y=f_y$, и
$f_y=\gamma(v) F_y$, соответственно $f'_y=\gamma(v') F'_y$
(Ландау-Лифшиц, Теория поля, глава II, параграф 9 "Энергия и импульс").

Вы ожидали, что в закон преобразования $F_y$ будет входить $\gamma(u)$. Этого множителя нет, зато есть множители $\gamma(v), \gamma(v')$, зависящие от скорости частицы (в обеих системах).

[fallex]

svv, большое спасибо за развёрнутый ответ. То есть правильно ли я понимаю, что в одной системе координат обычная трёхмерная сила, действующая на частицу, зависит от скорости, а в другой системе координат не зависит? И что это противоречие разрешается, если рассмотреть силу, как 4-вектор? И что же тогда это значит с физической точки зрения применительно к рассмотренной задаче?

[Munin]

fallex в сообщении #611694 писал(а):

То есть правильно ли я понимаю, что в одной системе координат обычная трёхмерная сила, действующая на частицу, зависит от скорости, а в другой системе координат не зависит?

Да, это служит критерием разделения электромагнитного поля на электрическое и магнитное в данной системе координат. В другой системе координат разделение будет другое. Бывает так, что в одной системе координат поле чисто электрическое, а в другой - и электрическое, и магнитное.

svv
Гамма-фактор принято писать маленькой гамма: $\gamma=\tfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$ Большая гамма в ранних работах по СТО иногда встречалась как обозначение обратной величины: $\Gamma=\sqrt{1-v^2/c^2}.$ Впрочем, к этому обозначению (в отличие от $\gamma$) лучше вообще не привыкать, потому что, например, буква $\Gamma$ с совершенно другим смыслом широко задействована в ОТО.

[La_Pew]

спам удален, пользователь забанен //photon

[svv]

Munin
Согласен. Исправил.

[fallex]

Munin в сообщении #611759 писал(а):

fallex в сообщении #611694 писал(а):

То есть правильно ли я понимаю, что в одной системе координат обычная трёхмерная сила, действующая на частицу, зависит от скорости, а в другой системе координат не зависит?

Да, это служит критерием разделения электромагнитного поля на электрическое и магнитное в данной системе координат. В другой системе координат разделение будет другое. Бывает так, что в одной системе координат поле чисто электрическое, а в другой - и электрическое, и магнитное.

Простите за твердолобость, но я никак не могу взять в толк. Ведь при подсчёте силы я уже учёл и электрическую и магнитную часть в данной системе координат. Вы согласились, что в одной системе координат сила зависит от скорости, в другой не зависит. Это что же получается, что в одной системе координат частица (например электрон) будет отдаляться от заряженной линии (в перпендикулярном направлении)с каким-то ускорением, не зависящим от её скорости, а в другой системе координат с другим ускорением, которое уже в свою очередь зависит от скорости частицы (так как сила зависит). И получается, что я увижу другой характер движения частицы в перпендикулярном направлении. Причём характер этого движения будет зависеть от системы координат, и что самое странное - от скорости частицы в этой системе координат. То есть в одной СК характер движения не зависит от скорости частицы (именно частицы, а не СК), а в другой зависит. Что в моих рассуждениях неверно?

[Munin]

Обратите внимание, что даже в системе координат, в которой есть магнитное поле, сила на частицу не совсем зависит от скорости. Есть компонента скорости, от которой сила не зависит. Это компонента, направленная в направлении магнитного поля. То есть, в 4-мерном пространстве-времени есть направления компонент скорости, от которых сила не зависит. (На самом деле, их два, потому что электромагнитное поле - это 2-форма, или антисимметричный тензор 2 ранга. Произведение на вектор, или на 1-форму, имело бы три безразличных компоненты - перпендикулярную вектору гиперплоскость.) Эти направления могут быть в разных системах координат направлены по-разному, и в какой-то системе координат они могут совпасть так, что оба пространственные. Это и есть система координат, в которой поле выглядит чисто электрическим. Эти два направления тогда перпендикулярны вектору электрического поля. А то, что сила не зависит от скорости в направлении электрического поля - это просто совпадение, связанное с вычислением 3-мерной силы. 4-мерная сила от этой скорости зависит (точнее, от соответствующей составляющей 4-импульса). От этого возникает разная мощность, получаемая частицей.

[svv]

fallex писал(а):

Это что же получается, что в одной системе координат частица (например электрон) будет отдаляться от заряженной линии (в перпендикулярном направлении)с каким-то ускорением, не зависящим от её скорости, а в другой системе координат с другим ускорением, которое уже в свою очередь зависит от скорости частицы (так как сила зависит).

Да, да, да. Всё правильно.

Вы, правда, в системе $S'$ не увидите другого характера движения, чем в $S$. К электрической силе будет добавляться магнитная, но так как $|v'|<1, |u|<1$, то $1+v'u>0$, и отталкивание ни в какой системе не сменится притяжением, оно может только быть сильнее или слабее.

Рассмотрим в системе $S$ такую ситуацию: имеются две одинаковые заряженные частицы, "красная" и "фиолетовая". В момент $t=0$ обе находятся в одной точке (пересечение синей линии $y=h$ и оси ординат $x=0$), и движутся параллельно заряженному проводу, со скоростями, равными по модулю, но в противоположных направлениях.

Обе частицы отталкиваются от провода с одинаковой силой, и в результате они одновременно пересекут зелёную линию: в $S$ ситуация симметричная.

Теперь перейдём в систему $S'$, которая движется относительно $S$ со скоростью $u>0$ параллельно оси $Ox$. Здесь события пересечения частицами зеленой линии будут неодновременными: так как $t'=\gamma(u)(t-ux)$, красная частица пересечет зеленую линию раньше, чем фиолетовая.

В момент $t'=0$ обе частицы находились в одной точке ($y'=h, x'=0$) и обе имели нулевую скорость $v'_y$, но зелёной линии они достигли в разные моменты $t'$. Как это может быть, в чём причина? Мы вынуждены заключить, что на них действовали разные силы отталкивания: на красную частицу большая, на фиолетовую меньшая.

А так как в $S'$ частицы отличаются лишь скоростью (в $t'=0$ и близкие моменты времени), мы вынуждены заключить, что разница в силах обусловлена различной скоростью частиц. Более того, можно даже вывести, как именно должна зависеть сила от скорости, чтобы получалось требуемое различие в силах, и этот закон будет именно таким, какой известен из электродинамики. Иными словами, мы "на кончике пера" открыли магнитную силу.

Несложно убедиться на качественном уровне, что законы электромагнетизма работают как раз в нужную сторону. Пусть для простоты и в $S'$ красная частица движется вправо (фиолетовая, конечно же, определенно влево, с ней вопросов нет). Красная частица и ток провода (порожденный движением провода влево в $S'$) движутся противонаправленно, а такие токи отталкиваются, поэтому здесь магнитная сила усиливает электрическую. Фиолетовая же частица и ток провода движутся сонаправленно, а такие токи притягиваются, т.е. отталкивание ослабляется.

[obar]

Для svv

(Оффтоп)

В каком редакторе Вы делаете такие красивые рисунки?

[svv]

obar

(Оффтоп)

А вот ещё красивее:
http://dxdy.ru/post587549.html#p587549
CorelDraw, 11 версия (сейчас есть и гораздо новее).

[fallex]

svv
Спасибо за Ваши красивые ответы. Очень познавательно.
Но я всё никак не успокоюсь и у меня родился ещё один вопрос
Представим, что красная и фиолетовая частицы сошлись в какой-то момент времени в одной точке (пусть это пересечение синей линии и оси ординат), при этом в лабораторной системе координат у них разные по модулю скорости ($v_1 \not= v_2$), но направлены эти скорости параллельно заряженной линии. В этот момент времени на каждую частицу действует сила со стороны заряженной линии. Причём, постольку поскольку частицы находятся в одной точке пространства и имеют противоположные заряды, силы, действующие на них, равны по модулю, но противоположны по направлению. Далее, по 3-му закону Ньютона, заряженная линия тоже испытывает действие силы со стороны частиц. Но эта сила в этот момент времени равна нулю. Переходим в систему $S'$, в ней заряженная линия уже движется со скоростью $-u$ вдоль оси абсцисс, то есть имеем уже ток. При этом, поскольку выбор системы $S'$ произволен, то я выбираю такую систему, в которой скорости движения зарядов не обращаются в нуль. Итого имеем, два противоположных заряда в одной точке пространства с какими-то новыми скоростями ${v_1}'$ и ${v_2}'$ и ток. Так как мы выяснили, что в $S'$ сила,действующая на частицу зависит от скорости, а скорости частиц у нас разные, то получаем разные силы. Равнодействующая не равна нулю. И тогда, по 3-му закону Ньютона на заряженную линию уже будет действовать некая сила. То есть, в одной СК сила есть, в другой нет. Это нормально или я ошибся в рассуждениях?