Множество, измеримое по Жордану, - "на пальцах"

[Ktina]

Прочла в "Математическом Словаре Высшей Школы" следующее определение множества, измеримого по Жордану:

Математический Словарь Высшей Школы писал(а):

Множество $G\subset {R^n}$ называют кубируемым или измеримым в смысле Жордана, если

$$\sup{\{\text{об. P}\}}=\inf{\{\text{об. Q}\}},$$

где $\quad\text{об. P},\quad \text{об. Q}$ - соответственно объёмы многогранников $P$, вложенных в множество $G$ (т. е. $P\subset G$), и многогранников $Q$, охватывающих $G$ (т. е. $G\subset Q$).

Из всех определений множества, измеримого по Жордану, с коими я встречалась, это - единственное, которое я смогла более или менее понять.

Вопрос у меня такой (вернее, просьба):
Можно ли как-нибудь "на пальцах" объяснить поподробнее и с примерами?
Скажем, если я правильно поняла, обычный шар в $R^3$ будет измеримым по Жордану, так как биргетит верхняя граница объёма вложенного в этот шар многогранника равна объёму шара, а нижняя граница объёма охватывающего этот шар многогранника - тоже.


Заранее благодарна!

[ewert]

Ktina в сообщении #587300 писал(а):

Можно ли как-нибудь "на пальцах" объяснить поподробнее и с примерами?

Пальцы не вполне многогранные, так что на них непросто. А в принципе всё очень просто. Множество измеримо, если в него можно вписать многогранник и около него описать многогранник же так, чтобы эти два многогранника отличались по объёму сколь угодно мало.

С примерами же -- опять всё очень непросто (или, что то же самое, очень просто): любая область, которая может встретиться в реальной жизни, измерима.

[Ktina]

ewert в сообщении #587317 писал(а):

...любая область, которая может встретиться в реальной жизни, измерима.

И даже двусвязная?

[ewert]

Ktina в сообщении #587319 писал(а):

И даже двусвязная?

даже тридцатисемисвязная

[Ktina]

ewert в сообщении #587327 писал(а):

Ktina в сообщении #587319 писал(а):

И даже двусвязная?

даже тридцатисемисвязная

Тогда я не совсем поняла.
Как можно квадратировать вот такую катринку? http://mtkurs.ru/funkp/komper66.htm

[Sender]

А как этот словарь определяет многогранник?

[Ktina]

Sender в сообщении #587342 писал(а):

А как этот словарь определяет многогранник?

Многогранник в $R^n$ - множество $P$, которое можно разбить на конечное число симплексов.

[Sender]

Ну вот и прекрасно. Берёте и мостите вашу область треугольниками, в чём сложность? Из маленьких треугольничков можно составить мозаику, сколь угодно близкую к этой области.

[svv]

Ktina, Вы под двусвязной областью понимали такую, как на рисунке а) ?

Двусвязная -- это как на рисунке б), а область на рисунке а) -- несвязная.
Впрочем, кубируема и та и другая.

Можно обойтись даже $n$-мерными "координатными" кубами, и даже только со стороной $2^{k}, \; k\in\mathbb Z$.
В двумерном случае -- рисуете область на листе в клеточку. Те клеточки, которые полностью принадлежат области, закрашиваете красным. Те клеточки, которые полностью не принадлежат, закрашиваете синим. Остальные делите на четыре меньших клеточки. Из меньших некоторые будут красными, некоторые синими, некоторые опять придется разделить. И так далее.

Если площадь незакрашенной области стремится к нулю, Ваша исходная область измерима.

[Sender]

svv в сообщении #587549 писал(а):

Можно обойтись даже $n$-мерными "координатными" кубами, и даже только со стороной $2^{-n}$.

Это же всё-таки разные $n$, может, одно из них было бы лучше обозначить по-другому?

[svv]

Да, Вы правы, спасибо. Исправил.
Заодно и убрал совершенно ненужный "минус". $k\in \mathbb Z$.

[ewert]

svv в сообщении #587549 писал(а):

Впрочем, кубируема и та и другая.

Ни одна из них ни разу не "кубируема" а всего лишь "квадратируема". Впрочем, это всё семечки, а что и впрямь существенно -- так это другое:

svv в сообщении #587549 писал(а):

Можно обойтись даже $n$-мерными "координатными" кубами

Это и впрямь (методически) лучше; хотя -- с какой стороны поглядеть. С одной стороны, замена многогранников на "кусочно-прямоугольные области" резко упрощает общую схему. С другой -- схема становится неинвариантной относительно поворотов, и за эту инвариантность ещё придётся побороться. Ну тут уж объективных критериев нет и быть не может: "кому по душе арбузы, а кому -- свиной хрящик" (с).