Разбор задач

[DjD USB]

1) Существуют ли восемь натуральных чисел, среди которых ровно одно делится на 8, ровно два делятся на 7, ровно три — на 6, . . . , ровно семь — на 2?
Решение:Пусть у нас есть числа $a_1,a_2,.....,a_8$. Тогда 7 из них по требованию условия делятся на 2. Идем дальше теперь с нас требуют чтоб 6 чисел делилось на 3,значит хотябы пять чисел будут делится на 6(т.к. у нас 7 чисел из восьми делятся на 2). Но в тоже время у нас требуют чтобы только 3 числа делилось на 6. Следовательно требуемое неверно.
2) Даны числа $a,b,c$ . Известно, что для любого $x$ выполнено неравенство:
$ax^2+bx+c\ge bx^2+cx+a\ge cx^2+ax+b$. Докажите, что $a=b=c$
Решение: Если мы посчитаем попарно дискриминант и перемножим их, то получим что $D_{1,2,3}=(a-b)^2(c-a)^2(c-b)^2<-64(a-b)^2(c-a)^2(c-b)^2$.Это если неравенство нестрогие.У меня вопрос: А из этого следует что у всех неравенств дискриминант равен нулю?
3)Пусть $ax^2+2bx+c, bx^2+2cx+a, cx^2+2ax+b$ - квадратные трехчлены с положительными коэффициентами, причем любые два из них имеют общий корень. Докажите, что a=b=c.
Решение: в общем делал тоже что и во втором задании Т.е общий димкриминант(нужно добавить, что здесь у каждого хотя бы один корень). Считаем общий диск-нант. $D_{1,2,3}=4^3a^2b^2c^2\ge4^3a^2b^2c^2$. Видим что здесь всегда равенство.И у меня тот же вопрос по этой задаче, что и во втором задании.
4)Решите неравенство: $\sin x\le \tg x\le \ctg x\le \cos x$
Решение: из неравенство видим что $-1\le \ctg x\le \tg x\le 1$. Т.е. $| \cos x|\ge \sin x$, но в тоже время $|\sin x|\ge \cos x$.Следовательно $\cos x=\sin x, \cos x=-\sin x$ Т.е. плюс минус $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Но тогда тангенс и катангенст равны 1 или минус единице.Тогда $\frac{1}{\sqrt{2}} \ge 1$, и $-\frac{1}{\sqrt{2}}\le-1$, что невено.Значит неравенство не имеет решений.
5)Числа от 1 до 100 выписали в строку в некотором порядке. Докажите, что найдутся два рядом стоящих числа, сумма которых больше 50, но меньше 150.
Решение:Допустим такие числа не найдутся, тогда возьмем три соседних числа $a_1,a_2,a_3$. Т.к. мы предпалагае пративное то $a_1+a_2\le50$, и $a_2+a_3\ge150$ и т.к числа натуральные, из первого неравенство следует что $a_2<50$, а из второго что $a_2\ge50$, противоречие.
6)Пусть $x,y,z$ – неотрицательные числа и выполняется равенство $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ . Докажите неравенство $x+y+z\le\frac{3}{2}$.
Решение(точнее попытка):Если одна из переменных болше единицы то равенство не верно, если кто-то равен единице то два других равны нулю,тогда равенство которое нам нужно доказать верно(1 меньше чем 1,5).Тогда все меньше единицы и прм этом $2xyz<1$ ,$xyz<\frac{1}{2}$. Пока решаем если ни одно из чисел не равно нулю.Из последнего нервавенства следует что$x<\frac{1}{2yz}<1, y<\frac{1}{2xz}<1, z<\frac{1}{2xy}<1$. Тогда$xyz>\frac{1}{2\sqrt{2}}$, и$xy+yz+xz>\frac{3}{2}$. Вернемся к нашему равенству,$x^2+y^2+z^2+2xyz=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)+2xyz=1$ Дальше я хотел оценить, но не знаю, хорошая ли идея?
Разбираем задачи по очереди(т.е вначале первая потом втарая и т.п). Если есть ошибки, то скажите в чем и где

[AKM]

DjD USB:

pазницу чувствуете? Ведь людям об это глаза ломать!
(грамматику почти не трогал)

1) Существуют ли восемь натуральных чисел, среди которых ровно одно делится на 8, ровно два делятся на 7, ровно три — на 6, . . . , ровно семь — на 2?
Решение. Пусть у нас есть числа $a_1,a_2,.....,a_8$. Тогда 7 из них по требованию условия делятся на 2. Идем дальше теперь с нас требуют чтоб 6 чисел делилось на 3,значит хотябы пять чисел будут делится на 6(т.к. у нас 7 чисел из восьми делятся на 2). Но в тоже время у нас требуют чтобы только 3 числа делилось на 6. Следовательно требуемое неверно.

2) Даны числа $a,b,c$ . Известно, что для любого $x$ выполнено неравенство:

$$ax^2+bx+c\ge bx^2+cx+a\ge cx^2+ax+b.$$

Докажите, что $a=b=c.$
Решение. Если мы посчитаем попарно дискриминант и перемножим их, то получим что

$$D_{1,2,3}=(a-b)^2(c-a)^2(c-b)^2<-64(a-b)^2(c-a)^2(c-b)^2.$$

Это если неравенство нестрогие. У меня вопрос: a из этого следует что у всех неравенств дискриминант равен нулю?

3) Пусть $ax^2+2bx+c, bx^2+2cx+a, cx^2+2ax+b$ - квадратные трехчлены с положительными коэффициентами, причем любые два из них имеют общий корень. Докажите, что a=b=c.
Решение. В общем делал тоже что и во втором задании Т.е общий димкриминант(нужно добавить, что здесь у каждого хотя бы один корень). Считаем общий диск-нант. $D_{1,2,3}=4^3a^2b^2c^2\ge4^3a^2b^2c^2$. Видим что здесь всегда равенство.И у меня тот же вопрос по этой задаче, что и во втором задании.

4) Решите неравенство: $\sin x\le \tg x\le \ctg x\le \cos x$
Решение. Из неравенство видим что $-1\le \ctg x\le \tg x\le 1$. Т.е. $| \cos x|\ge \sin x$, но в тоже время $|\sin x|\ge \cos x$. Следовательно $\cos x=\sin x, \cos x=-\sin x$ Т.е. плюс минус $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Но тогда тангенс и катангенст равны 1 или минус единице. Тогда $\frac{1}{\sqrt{2}} \ge 1$, и $-\frac{1}{\sqrt{2}}\le-1$, что невено. Значит неравенство не имеет решений.

5) Числа от 1 до 100 выписали в строку в некотором порядке. Докажите, что найдутся два рядом стоящих числа, сумма которых больше 50, но меньше 150.
Решение. Допустим такие числа не найдутся, тогда возьмем три соседних числа $a_1,a_2,a_3$. Т.к. мы предпалагае пративное то $a_1+a_2\le50$, и $a_2+a_3\ge150$ и т.к числа натуральные, из первого неравенство следует что $a_2<50$, а из второго что $a_2\ge50$, противоречие.

6) Пусть $x,y,z$ – неотрицательные числа и выполняется равенство

$$x^2+y^2+z^2+2xyz=1.$$

Докажите неравенство

$$x+y+z\le\frac{3}{2}.$$

Решение (точнее, попытка). Если одна из переменных болше единицы то равенство не верно, если кто-то равен единице то два других равны нулю,тогда равенство которое нам нужно доказать верно(1 меньше чем 1,5).Тогда все меньше единицы и прм этом $2xyz<1$,$xyz<\frac{1}{2}$. Пока решаем если ни одно из чисел не равно нулю. Из последнего нервавенства следует что

$$x<\frac{1}{2yz}<1,\quad y<\frac{1}{2xz}<1,\quad z<\frac{1}{2xy}<1.$$

Тогда $xyz>\frac{1}{2\sqrt{2}}$, и$xy+yz+xz>\frac{3}{2}$. Вернемся к нашему равенству,

$$x^2+y^2+z^2+2xyz=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)+2xyz=1.$$

Дальше я хотел оценить, но не знаю, хорошая ли идея?

Разбираем задачи по очереди(т.е вначале первая потом втарая и т.п). Если есть ошибки, то скажите в чем и где

[xmaister]

DjD USB в сообщении #610375 писал(а):

6)Пусть $x,y,z$ – неотрицательные числа и выполняется равенство $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ . Докажите неравенство $x+y+z\le\frac{3}{2}$.

Вот что думается:
Множество $K=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2+2xyz=1,x,y,z,\ge 0\}$- компактно. Замкнутость следует из непрерывности $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xyz$ и хаусдорфовости $\mathbb{R}$, ограниченность очевидна. Рассмотрим функцию $f:K\to\mathbb{R}$, такую что $f(x,y,z)=x+y+z-\frac{3}{2}$. $f$- непрерывна. На компакте она принимает свои макс. и мин. значения. Положим, что $(a,b,c)$- точка в которой $f$- максимальна. $a\le b\le c$... По идеи Штурмом убиваться должно, ща подумаю...

[DjD USB]

xmaister в сообщении #610389 писал(а):

DjD USB в сообщении #610375 писал(а):

6)Пусть $x,y,z$ – неотрицательные числа и выполняется равенство $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ . Докажите неравенство $x+y+z\le\frac{3}{2}$.

Вот что думается:
Множество $K=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2+2xyz=1,x,y,z,\ge 0\}$- компактно. Замкнутость следует из непрерывности $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xyz$ и хаусдорфовости $\mathbb{R}$, ограниченность очевидна. Рассмотрим функцию $f:K\to\mathbb{R}$, такую что $f(x,y,z)=x+y+z-\frac{3}{2}$. $f$- непрерывна. На компакте она принимает свои макс. и мин. значения. Положим, что $(a,b,c)$- точка в которой $f$- максимальна. $a\le b\le c$... По идеи Штурмом убиваться должно, ща подумаю...

DjD USB, полностью цитировать предыдущее сообщение не было никакой необходимости.
Это мусор на форуме (см. Правила).

Все задачи должны решаться школьными методами

-- Сб авг 25, 2012 14:41:25 --

AKM, еще как чувствую

[nnosipov]

(Оффтоп)

AKM
Обихаживание газона перед подъездом --- безусловно благородное дело Я бы ещё выполол вульгарные т.к., кое-где запятые с пробелами доставил, вообще подумал над дизайном формул ... Хотя, по-хорошему, ТС уже сам должен стараться.

[AKM]

(Оффтоп)

Сделал только то, что можно было сделать на скорую руку. Хотелось поначалу одного --- хотя бы разделить задачи пустыми строками. Про грамматику написал.

[xmaister]

Была неправда.

[DjD USB]

Ну что скажите на счет моего вопроса во-второй, и третей задачах?

-- Сб авг 25, 2012 15:42:59 --

Вообще какие задачи из написаных решены верно?

[Алексей К.]

Первое правильно.
Во втором мне непонятно, что за дискриминанты и какое отношение они имеют к задаче.
У Вас есть требование ---

$$(a-b)x^2+(b-c)x+(c-a)\ge 0.$$

При каких условиях можно ожидать выполнения этого неравенства? По-моему, продуктивный подход: он даёт $a=\dfrac{b+c}2$.
(Или объясните своё решение подробнее).

[DjD USB]

Алексей К. в сообщении #610416 писал(а):

Или объясните своё решение подробнее.

Пусть у нас строгие неравенства, тогда если мы найдем попарные дискриминанты и умножим их, то получим вот что: $D_{1,2,3}=(a-b)^2(c-a)^2(c-b)^2<-64(a-b)^2(c-a)^2(c-b)^2$, т.е мы получим неверное неравенство(надеюсь это понятно). И наверное я всетаки ошибся в вопросе, вот правильный: из того что я объяснил следует что у нас не неравенства, а равенства изначально должны быть, да?
Попарно- это 1 и 3 выражение, 2 и 3. У нас же трайное нер-во, я беру их попарно.

[ewert]

DjD USB в сообщении #610410 писал(а):

Ну что скажите на счет моего вопроса во-второй, и третей задачах?

Третью не смотрел, а во второй дискриминанты совсем ни к чему. Первое неравенство даёт $(a-b)x^2+(b-c)x+(c-a)\geqslant0$, что возможно лишь при $a-b\geqslant 0$ и $c-a\geqslant 0$, т.е. при $c\geqslant a\geqslant b$. Аналогично, из второго неравенства $(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)\geqslant0$, откуда $b-c\geqslant 0$ и $a-b\geqslant 0$, т.е. $a\geqslant b\geqslant c$. Таким образом, $a\geqslant b\geqslant c\geqslant a$.

[DjD USB]

Да, понятно!

-- Сб авг 25, 2012 16:38:54 --

На счет третьей я лучше еще подумаю. Первая правильно, вторую разобрали. Ну меня больше конечно шестая интересует.

[arqady]

DjD USB в сообщении #610375 писал(а):

6)Пусть $x,y,z$ – неотрицательные числа и выполняется равенство $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ . Докажите неравенство $x+y+z\le\frac{3}{2}$.

DjD USB, докажите, что существуют $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ из $[0,\frac{\pi}{2}]$ такие, что $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ и $x=\cos\alpha$, $y=\cos\beta$ и $z=\cos\gamma$.
Ещё путь: от противного.

[DjD USB]

Не знаю подходов к такому типу вопросов. Можете написать, что вы имели ввиду?

[xmaister]

Интересно, а Штурмом задача6 не решается?