Бесконечное произведение по всем простым числам

[Gordmit]

$$\prod_p \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$$

Произведение по всем простым числам. Можно ли как-нибудь аналитически посчитать? Выразить через дзета-функцию или что-то в этом роде. Не могу сообразить.

[RIP]

Про это произведение я тоже не могу сообразить, но $\prod_p\left(1+\frac1{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$. Там точно минус?

[Gordmit]

Да, мне надо бы с минусом, но Ваша формула с плюсом в высшей степени замечательна! Её я тоже не сообразил бы, наверное. Если несложно, подскажите пожалуйста, как ее доказать. Быть может, это как-нибудь поможет и в случае произведения с минусом.

[RIP]

$$\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}=\zeta(s),\ \mathrm{Re}\,s>1$$

[ИСН]

C плюсом-то видно, что subj выражается через произведение зверей вида $(1\pm{1\over p^n})$ (значит, и сводится к каким-то дзетам), а с минусом оно никак, потому прогноз неутешительный.

[Gordmit]

RIP писал(а):

$$\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}=\zeta(s),\ \mathrm{Re}\,s>1$$

Мда, подсказка очевидная, я уж понял, что выражать надо через дзета-функцию
Но вроде уже получилось. Спасибо!

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

ИСН писал(а):

C плюсом-то видно, что subj выражается через произведение зверей вида $(1\pm{1\over p^n})$ (значит, и сводится к каким-то дзетам), а с минусом оно никак, потому прогноз неутешительный.

Ясно, и Вам тоже спасибо. Значит, оставим как есть.
Но все же интересно, а как сразу видеть, выражается subj через произведение таких зверей или нет?

[RIP]

А откуда такое произведение вылезло, если не секрет?

[ИСН]

Gordmit писал(а):

Но все же интересно, а как сразу видеть, выражается subj через произведение таких зверей или нет?

У многочленов $1\pm x^n$ все корни по модулю равны единице. У многочлена $x^2-x-1$ - нет. Всё.

[Gordmit]

RIP писал(а):

А откуда такое произведение вылезло, если не секрет?

Не секрет: просто мне понадобилось сосчитать сумму ряда

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n\varphi(n)}$$

, а она как раз и равна этому бесконечному произведению.

А вот сумма ряда

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n\varphi(n)}$$

как раз получается равной бесконечному произведению с "плюсом", т.е. $\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$.


P.S. Вообще, хотелось научиться расписывать производящий ряд Дирихле $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}$ в виде произведения чего-то, зависящего от $\zeta(s)$, и функции, аналитичной при $\mathrm{Re}\,s>a$, где $0\leqslant a<1$ (так сказать, "регулярной"). В случае простых мультипликативных функций (типа $\tau(n)$, $\varphi(n)$ и т.п.) это достаточно просто, там фактически все через дзету расписывается; но как только функция $a(n)$ посложнее, у меня начинается тупняк Нигде в литературе я почему-то не встречал нормального описания подобных приемов в достаточно общем случае.

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/ArtinsConstant.html

[Gordmit]

maxal
Спасибо. Походил по ссылкам, открыл для себя много нового

[RIP]

Gordmit писал(а):

А вот сумма ряда

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n\varphi(n)}$$

как раз получается равной бесконечному произведению с "плюсом", т.е. $\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$.

А ещё

$$\lim_{N\to\infty}\frac1{\ln N}\sum_{n=1}^N\frac1{\varphi(n)}=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}.$$

Там как раз вылезает такое произведение, я поэтому и вспомнил.