2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечное произведение по всем простым числам
Сообщение10.04.2007, 18:22 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
$$\prod_p \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$$
Произведение по всем простым числам. Можно ли как-нибудь аналитически посчитать? Выразить через дзета-функцию или что-то в этом роде. Не могу сообразить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Про это произведение я тоже не могу сообразить, но $\prod_p\left(1+\frac1{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$. Там точно минус?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:52 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Да, мне надо бы с минусом, но Ваша формула с плюсом в высшей степени замечательна! Её я тоже не сообразил бы, наверное. :) Если несложно, подскажите пожалуйста, как ее доказать. Быть может, это как-нибудь поможет и в случае произведения с минусом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$$\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}=\zeta(s),\ \mathrm{Re}\,s>1$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
C плюсом-то видно, что subj выражается через произведение зверей вида $(1\pm{1\over p^n})$ (значит, и сводится к каким-то дзетам), а с минусом оно никак, потому прогноз неутешительный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:10 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
RIP писал(а):
$$\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}=\zeta(s),\ \mathrm{Re}\,s>1$$
Мда, подсказка очевидная, я уж понял, что выражать надо через дзета-функцию :lol:
Но вроде уже получилось. Спасибо!

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

ИСН писал(а):
C плюсом-то видно, что subj выражается через произведение зверей вида $(1\pm{1\over p^n})$ (значит, и сводится к каким-то дзетам), а с минусом оно никак, потому прогноз неутешительный.
Ясно, и Вам тоже спасибо. Значит, оставим как есть.
Но все же интересно, а как сразу видеть, выражается subj через произведение таких зверей или нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
А откуда такое произведение вылезло, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Gordmit писал(а):
Но все же интересно, а как сразу видеть, выражается subj через произведение таких зверей или нет?

У многочленов $1\pm x^n$ все корни по модулю равны единице. У многочлена $x^2-x-1$ - нет. Всё.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 08:57 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
RIP писал(а):
А откуда такое произведение вылезло, если не секрет?
Не секрет: просто мне понадобилось сосчитать сумму ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n\varphi(n)}$$, а она как раз и равна этому бесконечному произведению.

А вот сумма ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n\varphi(n)}$$ как раз получается равной бесконечному произведению с "плюсом", т.е. $\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$.


P.S. Вообще, хотелось научиться расписывать производящий ряд Дирихле $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}$ в виде произведения чего-то, зависящего от $\zeta(s)$, и функции, аналитичной при $\mathrm{Re}\,s>a$, где $0\leqslant a<1$ (так сказать, "регулярной"). В случае простых мультипликативных функций (типа $\tau(n)$, $\varphi(n)$ и т.п.) это достаточно просто, там фактически все через дзету расписывается; но как только функция $a(n)$ посложнее, у меня начинается тупняк :? Нигде в литературе я почему-то не встречал нормального описания подобных приемов в достаточно общем случае.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 09:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
http://mathworld.wolfram.com/ArtinsConstant.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 11:08 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
maxal
Спасибо. Походил по ссылкам, открыл для себя много нового :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gordmit писал(а):
А вот сумма ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n\varphi(n)}$$ как раз получается равной бесконечному произведению с "плюсом", т.е. $\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$.

А ещё
$$\lim_{N\to\infty}\frac1{\ln N}\sum_{n=1}^N\frac1{\varphi(n)}=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}.$$
Там как раз вылезает такое произведение, я поэтому и вспомнил. :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group