2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Бесконечное произведение по всем простым числам
Сообщение10.04.2007, 18:22 
$$\prod_p \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$$
Произведение по всем простым числам. Можно ли как-нибудь аналитически посчитать? Выразить через дзета-функцию или что-то в этом роде. Не могу сообразить.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:48 
Аватара пользователя
Про это произведение я тоже не могу сообразить, но $\prod_p\left(1+\frac1{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$. Там точно минус?

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:52 
Да, мне надо бы с минусом, но Ваша формула с плюсом в высшей степени замечательна! Её я тоже не сообразил бы, наверное. :) Если несложно, подскажите пожалуйста, как ее доказать. Быть может, это как-нибудь поможет и в случае произведения с минусом.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:54 
Аватара пользователя
$$\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}=\zeta(s),\ \mathrm{Re}\,s>1$$

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:58 
Аватара пользователя
C плюсом-то видно, что subj выражается через произведение зверей вида $(1\pm{1\over p^n})$ (значит, и сводится к каким-то дзетам), а с минусом оно никак, потому прогноз неутешительный.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:10 
RIP писал(а):
$$\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}=\zeta(s),\ \mathrm{Re}\,s>1$$
Мда, подсказка очевидная, я уж понял, что выражать надо через дзета-функцию :lol:
Но вроде уже получилось. Спасибо!

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

ИСН писал(а):
C плюсом-то видно, что subj выражается через произведение зверей вида $(1\pm{1\over p^n})$ (значит, и сводится к каким-то дзетам), а с минусом оно никак, потому прогноз неутешительный.
Ясно, и Вам тоже спасибо. Значит, оставим как есть.
Но все же интересно, а как сразу видеть, выражается subj через произведение таких зверей или нет?

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:14 
Аватара пользователя
А откуда такое произведение вылезло, если не секрет?

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:17 
Аватара пользователя
Gordmit писал(а):
Но все же интересно, а как сразу видеть, выражается subj через произведение таких зверей или нет?

У многочленов $1\pm x^n$ все корни по модулю равны единице. У многочлена $x^2-x-1$ - нет. Всё.

 
 
 
 
Сообщение11.04.2007, 08:57 
RIP писал(а):
А откуда такое произведение вылезло, если не секрет?
Не секрет: просто мне понадобилось сосчитать сумму ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n\varphi(n)}$$, а она как раз и равна этому бесконечному произведению.

А вот сумма ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n\varphi(n)}$$ как раз получается равной бесконечному произведению с "плюсом", т.е. $\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$.


P.S. Вообще, хотелось научиться расписывать производящий ряд Дирихле $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}$ в виде произведения чего-то, зависящего от $\zeta(s)$, и функции, аналитичной при $\mathrm{Re}\,s>a$, где $0\leqslant a<1$ (так сказать, "регулярной"). В случае простых мультипликативных функций (типа $\tau(n)$, $\varphi(n)$ и т.п.) это достаточно просто, там фактически все через дзету расписывается; но как только функция $a(n)$ посложнее, у меня начинается тупняк :? Нигде в литературе я почему-то не встречал нормального описания подобных приемов в достаточно общем случае.

 
 
 
 
Сообщение11.04.2007, 09:10 
Аватара пользователя
http://mathworld.wolfram.com/ArtinsConstant.html

 
 
 
 
Сообщение11.04.2007, 11:08 
maxal
Спасибо. Походил по ссылкам, открыл для себя много нового :)

 
 
 
 
Сообщение11.04.2007, 16:17 
Аватара пользователя
Gordmit писал(а):
А вот сумма ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n\varphi(n)}$$ как раз получается равной бесконечному произведению с "плюсом", т.е. $\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$.

А ещё
$$\lim_{N\to\infty}\frac1{\ln N}\sum_{n=1}^N\frac1{\varphi(n)}=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}.$$
Там как раз вылезает такое произведение, я поэтому и вспомнил. :)

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group