Орбиты Жукова

[Alexander Evnin]

В журнале "Математика в школе", №6 за 2012 г., опубликована статья Л.А. Штейнгарца "Орбиты Жукова и теорема Морлея". Орбитой Жукова автор называет эллипс, проходящий через 6 заданных точек. В работе приводится несколько гипотез о том, какие наборы из 6 точек имеют орбиты Жукова.

Для произвольного треугольника рассмотрим ГМТ точек, для каждой из которых справедливо следующее: если через данную точку провести чевианы, разбивающие треугольник на 6 треугольников, то центры окружностей, вписанных в эти треугольники, лежат на эллипсе. Суть гипотез 1-3 в том, что этому ГМТ принадлежат центр тяжести, инцентр и ортоцентр (последний - для остроугольного треугольника).

Опыты с пакетом GeoGebra визуально показали, что гипотеза 1 выполняется не для всех треугольников...

Интересно выяснить, для каких треугольников она выполняется!

[Oleg Zubelevich]

теория системы трех линейных уравнений

[Oleg Zubelevich]

Alexander Evnin в сообщении #607890 писал(а):

В журнале "Математика в школе", №6 за 2012 г., опубликована статья Л.А. Штейнгарца "Орбиты Жукова и теорема Морлея". Орбитой Жукова автор называет эллипс, проходящий через 6 заданных точек. В работе приводится несколько гипотез о том, какие наборы из 6 точек имеют орбиты Жукова.

Задача тривиальна.
Действительно, выберем систему координат так, что одна из точек лежит в начале, вторая имеет координаты $(1,0)$, третья имеет координаты $(0,1)$. Тогда уравнение кривой второго порядка проходящей через эти точки имеет вид $ax^2+by^2+cxy-ax-by=0$. Легко видеть, что для того чтоб эта кривая была эллипсом необходимо $a\ne 0$ поэтому окончательно искомое уравнение приобретает вид
$p(y^2-y)+qxy=x-x^2$.
Подставляя в это уравнение координаты оставшихся трех точек , мы получаем СЛУ из 3 уравненитй на $p,q$. Остается вспомнить критерий того, что уравнение второго порядка задает эллипс.

[Alexander Evnin]

Вы наметили план, как проверить принадлежность 6 точек одному эллипсу. А как насчёт справедливости гипотез?

[Oleg Zubelevich]

а гипотезы это теперь чисто технический вопрос Не более

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #607890 писал(а):

Опыты с пакетом GeoGebra визуально показали, что гипотеза 1 выполняется не для всех треугольников...

А правдоподобность гипотез 2 и 3 разве таким образом ещё не проверили? Если что-то из них покажется правдоподобным, то тогда уже Maple'ом доказывать, чтобы убедиться в справедливости, и уже потом пытаться как-нибудь геометрически. У меня раньше случилась подобная история с одной гипотезой Заславского о четырёхугольниках Брокара, где удалось найти вычислительное доказательство. Можно посмотреть также topic44574.html Здесь гипотеза провалилась.

[Alexander Evnin]

Гипотеза про ортоцентр также вроде бы опровергается, а вот про центр вписанной окружности (по меньшей мере визуально) подтверждается.

[Oleg Zubelevich]

Вы сперва без всяких гипотез разберитесь с условиями того , когда 6 точек лежат на эллипсе. Случаи расклассифицируйте. Проинтерпретируйте алгебраические выражения в геометрических терминах. Я тут немного попробовал -- вполне получается. А уж потом гипотезы.

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #608572 писал(а):

Гипотеза про ортоцентр также вроде бы опровергается, а вот про центр вписанной окружности (по меньшей мере визуально) подтверждается.

Ну, так Maple'ом её и, возможно, теорема будет. Жаль, мне сейчас некогда, а то можно было бы развлечься. Кстати, для проверки случай инцентра наиболее удобен из этих трёх.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #608597 писал(а):

Ну, так Maple'ом её и, возможно, теорема будет.

Проверил. Действительно, гипотеза про центр вписанной окружности оказалась теоремой. Так что господа геометры могут теперь со спокойной совестью доказывать её своими хитрыми методами.

Upd. И таки спустя 10 лет геометрическое доказательство (с помощью проективных преобразований) было найдено: см. М.И.Толовиков. Геометрическое доказательство теоремы об инцентрах и её аналогов // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 29 (2022). C. 171-182.

-- Сб сен 08, 2012 18:23:28 --

Oleg Zubelevich в сообщении #608594 писал(а):

Вы сперва без всяких гипотез разберитесь с условиями того , когда 6 точек лежат на эллипсе.

Вы, наверное, по привычке приняли ТС за нерадивого студента.

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #616157 писал(а):

Вы, наверное, по привычке приняли ТС за нерадивого студента.

наоборот, я проникся к ТС уважением, не всякий раз задача, которая тупо в лоб решается с помощью программы символьных вычислений оказывается именной open problem

(Оффтоп)

когдато давно я тоже развлекался школьной геометрией, мне правда не приходило в голову присваивать свое имя всяким "достижениям", вот например могу поделиться еще одним упражнением по работе в Maple

Имеется треугольная пирамида $ABCS$ с основанием $ABC$. Известно

$$AC=u,\quad CS=m\quad AS=p\quad SB=v\quad AB=n\quad CB=q$$

$V,R$ -- соответственно объем пирамиды и радиус описанной сферы.
Доказать, что

$$(24RV)^2=2(pmqn)^2-(uv)^4+2(uvmn)^2-(pq)^4+2(pquv)^2-(mn)^4$$

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #616202 писал(а):

наоборот, я проникся к ТС уважением, не всякий раз задача, которая тупо в лоб решается с помощью программы символьных вычислений оказывается именной open problem

Ну, раз уж тупо в лоб, приведите текст Вашей программы доказательных вычислений. Лично я обошёлся всего лишь вычислениями в поле рациональных дробей от двух переменных с коэффициентами из $\mathbb{Q}(\zeta)$, где $\zeta^8=1$. Программа содержит полтора десятка строк. Готов выслать файл в обмен на Ваш. Идёт?

Очень любопытно взглянуть, как Вы будете вычислять шесть центров вписанных окружностей. И потом с ними развлекаться.

(Оффтоп)

Вот эта Ваша формула действительно банально проверяется --- все понимают, как вычислить объём тетраэдра через его рёбра и, как следствие, выразить радиус описанной сферы через те же рёбра.

[Oleg Zubelevich]

1) пишем функцию, которая декартовым координатам вершин треугольника ставит в соответствие координаты центра вписанной окружности.
2) Координатам точки $A$ в заданном треугольнике ставим в соответствие координаты шести центров окружностей вписанных в треугольники, которые получены с помощью чевиан проведенных через $A$. Это еще одна функция.
3) Про эллипс и 6 точек уже начинал писать. Будут условия на координаты точки $A$.
4) проверяем условия, возникшие в пункте 3) для центра тяжести или еще для чего Вы хотите
Это очень скучно и громоздко. А главное заведомо выполнимо и совершенно безыдейно.

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #616277 писал(а):

1) пишем функцию, которая декартовым координатам вершин треугольника ставит в соответствие координаты центра вписанной окружности.

Уже по этой фразе видно, до чего же Вы наивны в области компьютерной алгебры. Какой природы будет эта Ваша функция? Как Вы с ней работать будете? А ведь придётся разные тождества с ней проверять. С чего вдруг Maple это будет делать корректно?

Задумайтесь и над тем, что помимо центра вписанной окружности, есть ещё три центра вневписанных окружностей, и все эти четыре точки алгебраически неразличимы.

Короче, программу на бочку. А вот это фуфло

Oleg Zubelevich в сообщении #616277 писал(а):

А главное заведомо выполнимо

можете гнать своим домашним.

[Alexander Evnin]

Совсем просто доказывается такое утверждение.
Центры тяжести шести треугольников, на которые делится произвольный
треугольник своими медианами, имеют орбиту Жукова.

Sergey Vorov доказал следующую теорему, обобщающую ещё две гипотезы Л.А.Штейнгарца.
Пусть на сторонах треугольника $ABC$ выбраны
точки $A_1$, $A_2$ (на стороне $BC$), $B_1$, $B_2$ (на стороне $AC$),
$C_1$, $C_2$ (на стороне $AB$) так, что для $i=1, 2$ отрезки $AA_i$, $BB_i$
и $CC_i$ пересекаются в одной точке (своей для каждой тройки отрезков).
Тогда точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ и $C_2$ лежат на одной конике.