Ли-производная от связности

[Vitalius]

Scwec, спасибо всё-таки, что перечислили список книг. Большинство из этих книг у меня есть. Особенно мне нравится Рашевский. Кобаяси и Номидзу не очень люблю - скучновато пишут. Что касается вопрос о Ли-производной связности, он остаётся. Ибо ваши вычисления по данной теме я не вижу. И вы не прав, что книга Аминовой меня вдохновила. С чего вы это взяли? Да, у неё в начале дан хороший обзор по дифф. геометрии, но специально по этому вопросу мне её ответ не понравился. И именно по этому создал сию тему - в виде того, что мне хочется, чтобы были сняты все неясности относительно Ли-производной от связности. К сожалению наткнулся на тщеславные выскочки Oleg-а Zubelevich-а, что если честно, довольно плохо само по себе как факт, и, кроме того - портит атмосферу дискуссии. Но, ладно - пусть оставим это. По теме - я люблю конструктивные заметки. Пока таких не вижу. Могу дать пример о том, что я имею ввиду когда говорю о конструктивных заметок. Чтобы этот пример был связан с темой, то думаю стоит сказать об одном выводе, которой мне нравится когда речь идёт о Ли-производной. Он позволяет легко найти формул для Ли-производной произвольного тензора, и вообще любого геометрического объекта, если известно как меняются его компоненты при замене координат.

[Munin]

scwec в сообщении #605159 писал(а):

Только ошиблись с Лихнеровичем - это 1960 год.

На титульном листе написано "Roma, Edizioni Cremonese, 1955". Ну разумеется, я ошибся, только с Шевалле - это 1946, а не 1948.

scwec в сообщении #605159 писал(а):

Но, насколько я понял, Вас интересуют вопросы именно учебного плана. А для этого вполне достаточно того, что я написал.
Кстати, наука не слишком далеко ушла от уровня моих рекомендаций.

Да, в общем, речь не о том, что наука далеко уходит. А о том, что тот же самый материал удаётся изложить стройнее, проще и логичнее. Например, при всём уважении к Эйнштейну, я предпочитаю прочитать его теорию в изложении Уилера, Вайнберга, Ландау или Пенроуза. Пуанкаре - тоже по современным авторам.

scwec в сообщении #605159 писал(а):

Эквивалента издательству "Мир" не существует. Так что извиняйте, как говорится, чем богаты, тем и рады.

Да уж, всё по мелочи: УРСС, НИЦ РХД, МЦНМО.

Ладно, я как-нибудь ещё подниму свой вопрос... такое чувство, что Шевалле с Лихнеровичем всё-таки на него не ответят...

[scwec]

В этой статье можно прочитать инвариантное определение производной Ли линейной связности вдоль векторного поля.
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/arch/2007/04/07-4.pdf

[Oleg Zubelevich]

Да, интересно. Напоминает определение тензора Римана. И вообще статья любопытная, для меня во всяком случае, спасибо. Однако, в статье ковариантная производная от связности оказывается тензором типа (1,2). И это не тоже самое, что пишет ТС :

Vitalius в сообщении #604625 писал(а):

ледующее тождество:

$\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}.$

поскольку $\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$ не тензор, просто из этой же формулы видно.

[epros]

Vitalius в сообщении #604725 писал(а):

epros в сообщении #604723 писал(а):

Откуда взято, что Ли-производную произведения НЕ тензоров можно расписать по правилу Лейбница?

Я считал, что так как тензоры это частные случаи геометрических объектов (с полилинейним законом преобразования компонентов при замене координат), то если знаем как можем строить Ли-производную от произвольного тензора рангом $k$, то тогда компоненты Ли-производной от НЕ тензора рангом $k$, можем найти, так сказать, по образу и подобию того способа, по которым находим компонент Ли-производной тензора с рангом $k$. И тогда справедливость правило Лейбница для Ли-производную произведения НЕ тензоров - ясна.

Ли-производная, это в первую очередь - производная по направлению поля. Для тензорного поля доказано, что она описывается приведённой Вами формулой, а произведение - расписывается по правилу Лейбница. Для нетензорных объектов всё это утрачивает силу. Никакие "правила подобия" здесь не работают.

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #605464 писал(а):

поскольку $\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$ не тензор, просто из этой же формулы видно.

А там, видимо, ошибка, должно быть (в моих обозначениях) $L_{\xi}\Gamma_{jk}^{i}=\xi_{;jk}^{i}+R_{jlk}^{i}{\xi}^l$

[scwec]

Для Munin:

Munin в сообщении #605141 писал(а):

Благодарю! Однако, годы изданий: 1955, 1948... По моему опыту, чем книга позже, тем внятней и последовательней, причём как раз 50-е годы - это уже в среднем "старьё", даже если авторы - классики. Не сочтите придирой, это точно лучшие рекомендации для начинающего?

-- 11.08.2012 22:46:28 --

Монодромия у Шевалле упоминается только для односвязных пространств, а в комплексном анализе - не только. Я больше интересуюсь неодносвязным случаем. Или он построен на односвязном?

После Ваших уточнений я не думаю, что дал лучшие рекомендации.
Очень много современной литературы.

[Munin]

Порекомендуете конкретные книги? Ну-ка, ну-ка, интересно.

[Vitalius]

epros в сообщении #605518 писал(а):

...Для тензорного поля доказано, что она (Ли-производная - заметка моя) описывается приведённой Вами формулой, а произведение - расписывается по правилу Лейбница. Для нетензорных объектов всё это утрачивает силу. Никакие "правила подобия" здесь не работают.

Всё ясно. Спасибо Epros! Вы первые указали откуда могла появится рядом с Ли-производной от связности, та частная производная $\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}$, которая смущала меня. Первоначально я думал, что в книге Аминовой могла быть опечатка. Теперь вижу, что нет - всё верно. Так что тождество которое удовлетворяет Ли-производная от связности, таково:

\boxed{$\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}.}$

Здесь ковариантная производная обозначена со знаком точка и запятая. У Scwec-а видимо таким знаком является запятая. Но для полноты надо ещё написать как следует определять компоненты Ли-производной от связности. Ибо в свете сказанного видно, что будет неправильно если используем те формулы, которые относятся для тензоров. Надо вернуться назад - к опр. Ли-производной. Скажу, как я обычно делаю необходимые вычисления в этом случае. И так, пусть сначала рассмотрим замена координат, определяющееся с помощью бесконечно малого смещения вдоль вектора $\xi^{\alpha}$:

$x^{\mu}\rightarrow x'^{ \mu}=x^{\mu}+\xi^{\mu}d\lambda.$

Ясно, что:

X^{ \mu'}_{\nu}\equiv\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}}=g^{\mu}_{\ \nu}+\xi^{\mu}_{\ ,\nu}d\lambda,

X^{ \mu}_{\nu'}\equiv\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\nu}}=g^{\mu}_{\ \nu}-\xi^{\mu}_{\ ,\nu}d\lambda.

Возьмём связность $\Gamma$ как функцию от новых координат $x'^{\beta}$. С точностью до членов первой степени по $d\lambda$, можем записать:

$\Gamma'^{\alpha}_{\mu\nu}(x^{\beta}+\xi^{\beta}d\lambda)=\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}(x^{\beta})+\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu,\beta}d\lambda$

Если это выражение понимаем как компоненты связности, определенные в новой (примованной) системе координат (т.е. $\Gamma^{\alpha'}_{\mu'\nu'}$), то можем применить к нему обратное преобразование, с помощью котором найдём другую связность $\tilde{\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu}$ в первоначальной системе координат. Тогда то, что следует назвать компоненты Ли-производной от связности, появится как коэффициент перед $d\lambda$ в разнице между новую и старую связность:

$\tilde{\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\equiv\left(\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\right)d\lambda+...$

Конечно, чтобы сделать всё это надо знать как меняются компоненты связности при замене координатной системе. А это известно. Можем и сами получить соответствующее выражение, используя то, что ковариантная производная от тензора является тензором. Достаточно будет сделать замену координат для ковариантной производной от вектора. Таким образом можем доказать, что:

$\Gamma^{\alpha'}_{\mu'\nu'}=\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}X^{\alpha'}_{\alpha}X^{\mu}_{\mu'}X^{\nu}_{\nu'}+X^{\alpha'}_{\beta}X^{\beta}_{\mu',\nu'},$

$\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\Gamma^{\alpha'}_{\mu'\nu'}X^{\alpha}_{\alpha'}X^{\mu'}_{\mu}X^{\nu'}_{\nu}-X^{\mu'}_{\mu}X^{\nu'}_{\nu}X^{\alpha}_{\mu',\nu'}.$

В нашем случае, вторая из этих формул, даёт (где взяли в виду, что $X^{\alpha}_{\mu',\nu'}=X^{\beta}_{\nu'}X^{\alpha}_{\mu',\beta}$):

$\tilde{\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu}=\left[\left(\Gamma^{\beta}_{\rho\sigma}+\xi^{\gamma}\Gamma^{\beta}_{\rho\sigma,\gamma}d\lambda\right)\left(g^{\alpha}_{\ \beta}-\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}d\lambda\right)+\left(g^{\beta}_{\ \sigma}-\xi^{\beta}_{\ ,\sigma}d\lambda\right)\xi^{\alpha}_{\ ,\rho\beta}d\lambda\right]\left(g^{\rho}_{\ \mu}+\xi^{\rho}_{\ ,\mu}d\lambda\right)\left(g^{\sigma}_{\ \nu}+\xi^{\sigma}_{\ ,\nu}d\lambda\right).$

Раскрывая скобы, получим то что ищем. А именно:

$\tilde{\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}+\left(\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\right)d\lambda+...$

[scwec]

Munin в сообщении #606007 писал(а):

Порекомендуете конкретные книги?

Сразу скажу, что под современной литературой я имел ввиду журнальные публикации. Но, пересмотрев свои запасы, добавляю к двум рекомендованным классикам три лекционных курса:
1. А.А.Болибрух, Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. 2000 г.
2. М.О. Катанаев, Геометрические медоды в математической физике. 2011 г. (есть в сети).
3. М.Э. Казарян, Дифференциальные формы, расслоения, связности. 2002 г. Летняя школа "Современная математика"
И, чтобы понять, во что приходится ввязываться, два обзора, имеющие отношение к монодромии и голономии.
http://www.mccme.ru/pdc/2007/xtra/Sadykov/sadykov-research%20statement-Russian.pdf
http://dfgm.math.msu.su/files/oshemkov/zad-conf.pdf.
Что касается вопроса о производной Ли связности, то он, надеюсь, закрыт. Кстати, у Аминовой действительно была некоторая путаница (а может наборщики постарались) с индексами в статье в УМН 1993 г., а книгу её мне видеть не привелось.

[Munin]

Vitalius в сообщении #606053 писал(а):

Здесь ковариантная производная обозначена со знаком точка и запятая. У Scwec-а видимо таким знаком является запятая.

Нет, общепринято запятой обозначать простую частную производную, а точкой с запятой - ковариантную.

[scwec]

Исправил как положено.

[Munin]

scwec
Спасибо за ссылки!

[Vitalius]

scwec в сообщении #606060 писал(а):

...Что касается вопроса о производной Ли связности, то он, надеюсь, закрыт...

Будет закрыт если дадим формулу для компонент Ли-производной связности, записанную только через частными производными из компонент самой связности и компонент векторного поля по направлений которым берётся Ли-производная. А это формула такова:

$\boxed{\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\equiv\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu}.}$

Собственно это то же самое, что и в (13). От формулой для Ли-производной тензора 3 ранга эта формула отличается тем, что добавлена вторая частная производная от векторного поля $\xi$. Для так определённой Ли-производной связности, выполняется следующее тождество:

$\boxed{\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu},}$

где $R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}$ компоненты тензора кривизны.

[Vitalius]

Хм, всё-таки надо ещё кое-что сказать по данной теме. Во первых к Epros-у.

epros в сообщении #604723 писал(а):

Откуда взято, что Ли-производную произведения НЕ тензоров можно расписать по правилу Лейбница?

Для производной Ли, вообще говоря правило Лейбница справедливо не только когда речь идёт о произведении тензоров. На самом деле, пусть рассмотрим:

$A'^{\mu...}_{\ \nu...}(x^{\beta}+\xi^{\beta}d\lambda)B'^{\rho...}_{\ \sigma...}(x^{\beta}+\xi^{\beta}d\lambda)=A^{\mu...}_{\ \nu...}B^{\rho...}_{\ \sigma...}+\xi^{\beta}\left(A^{\mu...}_{\ \nu...}B^{\rho...}_{\ \sigma...}\right)_{,\beta}d\lambda+...,$

где $A^{\mu...}_{\ \nu...}$ и $B^{\rho...}_{\ \sigma...}$ компоненты произвольных геометрических объектов. В виде тог, что для частной производни справедливо правило Лейбница, то:

$A'^{\mu..}_{\ \nu..}(x^{\beta}+\xi^{\beta}d\lambda)B'^{\rho..}_{\ \sigma..}(x^{\beta}+\xi^{\beta}d\lambda)=\left(A^{\mu..}_{\ \nu..}+\xi^{\beta}A^{\mu..}_{\ \nu..,\beta}d\lambda\right)B^{\rho..}_{\ \sigma..}+A^{\mu..}_{\ \nu..}\left(B^{\rho..}_{\ \sigma..}+\xi^{\beta}B^{\rho..}_{\ \sigma..,\beta}d\lambda\right)+...$

Это влечёт за собой справедливость правила Лейбница для Ли-производной - после того как применим ту процедуру, с помощью которой определяется Ли-производная (она описана выше).

$\pounds_{\xi}\left(A^{\mu..}_{\ \nu..}B^{\rho..}_{\ \sigma..}\right)=\left(\pounds_{\xi}A^{\mu..}_{\ \nu..}\right)B^{\rho..}_{\ \sigma..}+A^{\mu..}_{\ \nu..}\left(\pounds_{\xi}B^{\rho..}_{\ \sigma..}\right).$

Так что на первой странице темы всё верно вплоть до (10). Напомним, что (9) и (10) были:

$(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}(\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}).$ (9)

$(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})+A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.$ (10)

Вот, (11) уже не верно. Ибо частная производная вектора, не является тензором и поэтому когда пишем компоненты Ли-производной от неё, будет неправильно использовать те формулы для определения компонент Ли-производной, которые справедливы для тензоров - это Вы, уважаемый Epros правильно отметили. Что касается правило Лейбница, оно справедливо как для тензоров, так и для нетензоров. Ещё важно знать, что Ли-производная и частная производная коммутируют. В частности поэтому (11) следует правильно записать так:

$(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=0.$ (11)

Замена (11) в (10), даёт:

$(\pounds_{\xi}A_{\mu})_{;\nu}-\pounds_{\xi}(A_{\mu ;\nu})=A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.$ (12)

Отсюда согласно (9) и теореме о частном, следует, что:

$\boxed{\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ;\mu\nu}+\xi^{\beta}R^{\alpha}_{\ \mu\beta\nu}.}$ (13)

Конечно справедливость формулы для компонент Ли-производной от связности:

$\boxed{\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\equiv\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+\xi^{\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ,\beta}-\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\beta}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\xi^{\beta}_{\ ,\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\xi^{\beta}_{\ ,\nu},}$ (14)

можем получить расписывая подробно правой части (13). Но это само по себе не интересно, тем более, что таким образом будем рассматривать (13) так, как будто это не тождество, а определение для Ли-производной от связности. Конечно, с помощи той процедуре, с помощью которой можем последовательно найти Ли-производной от любого геометрического объекта (когда его трансформационные свойства заданы), можем убедиться в том, что (14) тождество. К сожалению, эта процедура может быть довольно громоздкой. Поэтому в таких случаях, мне кажется будет полезно то, что хотел сказать во вторых. А это одно довольно интересное правило, которое заметил благодаря (10). И так, пусть дан дифференциальной оператор $L_{\xi}$ (зависящий от векторного поля $\xi$), для которого справедливо правило Лейбница и чьё действие на произвольных геометрических объектов определяется так:

$L_{\xi}A^{\mu..}_{\nu..}\equiv\xi^{\alpha}A^{\mu..}_{\nu..,\alpha}-A^{\alpha..}_{\nu..}\xi^{\mu}_{\ ,\alpha}-...+A^{\mu..}_{\alpha..}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}+...$ (15)

Разумеется по отношении к тензорам оператор $L_{\xi}$ действет так же, как и оператор Ли-производны $\pounds_{\xi}$. Поэтому в (10) можем везде заменить $\pounds_{\xi}$ на $L_{\xi}$ (посколько его левая сторона имеет явно тензорный характер). Тогда будет верно, что:

$A_{\alpha}\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=(L_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-L_{\xi}(A_{\mu ,\nu})+A_{\alpha}L_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}.$ (16)

Согласно (15):

$\begin{array}{ll} (L_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-L_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=(\xi^{\alpha}A_{\mu ,\alpha}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu})_{,\nu}-(\xi^{\alpha}A_{\mu ,\nu\alpha}+A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}+A_{\mu ,\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu})=\\ =\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}A_{\mu ,\alpha}+\xi^{\alpha}A_{\mu ,\alpha\nu}+A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}+A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}-\xi^{\alpha}A_{\mu ,\nu\alpha}-A_{\alpha ,\nu}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu}-A_{\mu ,\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\nu}=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}. \end{array}$

$(L_{\xi}A_{\mu})_{,\nu}-L_{\xi}(A_{\mu ,\nu})=A_{\alpha}\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}.$ (17)

Отсюда непосредственно следует, что:

$\pounds_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=\xi^{\alpha}_{\ ,\mu\nu}+L_{\xi}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu},$ (18)

которое с учётом (15) прямо ведёт к формулы для компонент Ли-производной от связности (14). Выходит таким образом можем облегчить вычисления - с помощью вот этого оператора $L_{\xi}$ (вместе с тем, что Ли-производная коммутирует с частной производной). Мне кажется, что это будет верно не только в данном случае. Что скажете?