последовательное взятие косинусов сходится к одному числу

[Ян]

случайно заметил одну штуку, что если много раз брать косинус числа(любого), то в итоге получаем число примерно равное 0.7390851332151607

cos(cos(cos(cos(cos(.......(5))))....)))=cos(cos(cos(cos(cos(.......(53))))....)))=0.7390851332151607

кто-то может объяснить почему так?

[незваный гость]

Потому, что 0.7390851332151607 — это единственная неподвижная точка отображения $f(x) = \cos x$, и в некоторой окрестности этой точки отображение является сжимающим.

Что именно Вас интересует?

Некоторое детали:
Для любого $x$ $-1 \le \cos x \le 1$, соответственно, $\cos 1 \le \cos \cos x \le 1$, и $ \cos 1 \le \cos \cos \cos x \le \cos \cos 1$. На этом интервале $|f'(x)| = | - \sin x| < 0.8$, что и обеспечивает сходимость.

[Ян]

незваный гость писал(а):

:evil:
Потому, что 0.7390851332151607 — это единственная неподвижная точка отображения $f(x) = \cos x$, и в некоторой окрестности этой точки отображение является сжимающим.

Что именно Вас интересует?

Некоторое детали:
Для любого $x$ $-1 \le \cos x \le 1$, соответственно, $\cos 1 \le \cos \cos x \le 1$, и $ \cos 1 \le \cos \cos \cos x \le \cos \cos 1$. На этом интервале $|f'(x)| = | - \sin x| < 0.8$, что и обеспечивает сходимость.

Спасибо)
я просто некогда раньше про такую точку не слышал, стало интересно)
Впринципе если график строит то оно видно, что косинусойда сужаеться по амплитуде

[Igor Borovikov]

А тема ведь весьма интересная. Один вот так же баловался с калькулятором и открыл универсальность Фейгенбаума.