2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 последовательное взятие косинусов сходится к одному числу
Сообщение06.04.2007, 02:02 
случайно заметил одну штуку, что если много раз брать косинус числа(любого), то в итоге получаем число примерно равное 0.7390851332151607

cos(cos(cos(cos(cos(.......(5))))....)))=cos(cos(cos(cos(cos(.......(53))))....)))=0.7390851332151607

кто-то может объяснить почему так?

 
 
 
 
Сообщение06.04.2007, 02:51 
Аватара пользователя
:evil:
Потому, что 0.7390851332151607 — это единственная неподвижная точка отображения $f(x) = \cos x$, и в некоторой окрестности этой точки отображение является сжимающим.

Что именно Вас интересует?

Некоторое детали:
Для любого $x$ $-1 \le \cos x \le 1$, соответственно, $\cos 1 \le \cos \cos x \le 1$, и $ \cos 1 \le \cos \cos \cos x \le \cos \cos 1$. На этом интервале $|f'(x)| = | - \sin x| < 0.8$, что и обеспечивает сходимость.

 
 
 
 
Сообщение06.04.2007, 02:57 
незваный гость писал(а):
:evil:
Потому, что 0.7390851332151607 — это единственная неподвижная точка отображения $f(x) = \cos x$, и в некоторой окрестности этой точки отображение является сжимающим.

Что именно Вас интересует?

Некоторое детали:
Для любого $x$ $-1 \le \cos x \le 1$, соответственно, $\cos 1 \le \cos \cos x \le 1$, и $ \cos 1 \le \cos \cos \cos x \le \cos \cos 1$. На этом интервале $|f'(x)| = | - \sin x| < 0.8$, что и обеспечивает сходимость.

Спасибо)
я просто некогда раньше про такую точку не слышал, стало интересно)
Впринципе если график строит то оно видно, что косинусойда сужаеться по амплитуде

 
 
 
 
Сообщение07.04.2007, 02:42 
А тема ведь весьма интересная. Один вот так же баловался с калькулятором и открыл универсальность Фейгенбаума.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group