Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника

[gris]

Скажите, сколько граней, рёбер и вершин у квадрата с квадратной дыркой, рассматриваемого как многогранник.

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #605592 писал(а):

Хотя бы из этих соображений эйлерова характеристика должна была присутствовать в моей формуле.

Совсем не обязательно.
В выводе формулы она появляется искусственно.
Для случая выпуклых многогранников она разве что смотрится более органично, когда $k=2$

[Побережный Александр]

gris в сообщении #605601 писал(а):

Скажите, сколько граней, рёбер и вершин у квадрата с квадратной дыркой, рассматриваемого как многогранник.

Это зависит на какие многоугольники вы разобьете указанную фигуру. Интересно, что для любого разбиения эйлерова характеристика будет рана нулю в данном случае.

-- Пн авг 13, 2012 11:29:58 --

Mathusic, в вашем доказательстве вы строили рассуждение только для выпуклых многогранников. Доказательство в общем случае будет другим. Поэтому вам не понадобилось вводить эйлерову характеристику, хотя она неявно присутствовала в виде 2 в формуле.

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #605592 писал(а):

Поскольку предлагаемая формула претендует на всеобщность для многогранников, то она должна выполняться для всех многогранников.

Формула верна не только для многогранников но и для "экзотических" многогранников вроде куба, на который поставлен куб.
Так что вы зачем-то слишком много ненужных вопросов для потенциальных споров выдвигаете зачем-то ненужных.
Я только один вижу -- упоминать ли в формуле $k$ или нет. Конечно, это непринципиально.
Однако, для того, чтобы прохожий на улице понял формулу с $k$, ему скорее всего ещё нужно будет залезть в википедию

[gris]

Да, согласен. Просто в двух предыдущих подсчётах ЭХ у куба с ямкой Вы приводили два разных результата и вот теперь вырисовывается третий
Я про количество рёбер. Всё-таки, не могли бы Вы для моего прояснения ещё раз привести расчёт для куба с ямкой?

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #605604 писал(а):

Mathusic, в вашем доказательстве вы строили рассуждение только для выпуклых многогранников.

Нет. Уберите в доказательстве единственное слово "выпуклом" и оно сново будет верно.
И более того, не обязательно работает для многогранников, но и для "экзотитки", как уже отмечалось выше не раз.
Я это утверждаю.

-- Пн авг 13, 2012 12:48:55 --

gris
Для куба с ямкой (или выпуклостью), чтобы $k$ работало в формуле, мы должны посчитать "экзотическую" грань -- квадрат, с вырезанным квадратом, которая на самом деле гранью быть не может по определению многогранников. Так что не знаю, можно ли называть $k$ в данном случае ЭХ, но работать в ф-ле это будeт.
Вообще, конечно, я приврал немного выше: формула вообще не зависит от того, как мы будет считать грани. Пускай, их количество всегда равно $100$, например, хоть для куба или тетраэдра.
Считаем $k=B-P+100$, далее $\Gamma-k=B-P$. Хотя это просто очевиднейше, конечно.
Именно поэтому, я твержу (уже ), что не нужно никакое упоминание ЭХ в ф-ле

[Побережный Александр]

Уважаемый gris, ваша постановка вопроса ввела меня в ступор.
Давайте попробуем определить, что такое грани и ребра.
Поскольку изначально предполагалась работа с двугранными и телесными углами, предлагаю считать гранями часть плоскости, ограниченной замкнутыми непересекающимся ломанными. Так я определяю грань, чтобы однозначно фиксировать телесные углы.
Под ребром будем понимать пересечение двух плоскостей, в которых лежат две соседние грани и это пересечение входит в каждую грань составной частью.
Если остановимся на таких определениях, то я смогу произвести расчеты.

[gris]

Так вот я и хотел определиться с тем, что считать гранями, рёбрами и вершинами, какие двугранные и телесные углы считать. Можно ли разбить разбить плоскую фигуру на несколько многоугольников и считать каждый отдельной гранью? Тогда надо учитывать рёбра между такими гранями с двугранным углом в $2\pi$, и вершины с таким же телесным углом. То есть рёбра и вершины, которые не ощущаются "на ощупь".

[Побережный Александр]

А как Эйлер определял грани и ребра? Я подозреваю, что он совсем другой смысл вкладывал в них.


Mathusic, а как вы ввели формулу Эйлера в доказательство? Можно подробнее это прием описать?

[gris]

Ну так статья Эйлера есть, там он пользуется разбиением на тетраэдры. Только непонятно, рассматривал ли он потом дырявые и прочие экзотические многогранники, или забросил это дело. В статье просто говорится о теле, заключённом в плоские грани. По-видимому, он ограничился только выпуклыми многогранниками, представляющими пересечение (ограниченное и с "внутренностью") нескольких полупространств.

[Mathusic]

Побережный Александр
Да там всё просто, я же описывал.
Изначально формула получается вот такой

$$\boxed {2 \pi (P-B) = \sum \limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum \limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$

То есть грани не участвуют вообще.
Ну а потом просто подставляем выражение для разницы ребер и вершин

[Побережный Александр]

Mathusic, но вы тогда должны были вместо $P-B$ подставить $\Gamma-k$, где $k$ - эйлерова характеристика.

-- Пн авг 13, 2012 14:24:42 --

Gris, могу ли я опираться на свои определения граней и ребер? Насколько они корректны? Почему надо обращать внимание на гомеоморфность с шаром или сферой?

[gris]

Так пока не было определений. Пересечение двух плоскостей это прямая или сама эта плоскость. В случае невыпуклых граней, они могут соприкасаться на нескольких интервалах, лежащих на одной прямой. Считать это одной гранью или несколькими? Мне понятнее ход от введения вершин, а потом рёбер как отрезков, соединяющих две вершины. Можно вообще не учитывать грани, как сделал Mathusic.
Тут непонятно, что делать с ЭХ. Если она вычисляется чисто через число В, Р и Г, то формула с ней вторична.
Другое дело, если мы введём её как-то по другому, может быть аксиоматически. Покажем, при каких преобразованиях она не меняется (гомотопии?), изучим классы многогранников как фактор-множество по ЭХ.
Но, в общем, Вы уже пришли к какому-то мнению относительно этого Вашего свойства телесных и двугранных углов? Какие следствия, дальнейшие теоремы?
Теория достаточно интересная.

[Mathusic]

Побережный Александр в сообщении #605665 писал(а):

Mathusic, но вы тогда должны были вместо $P-B$ подставить $\Gamma-k$, где $k$ - эйлерова характеристика.

Ну так я так и делал в самом первом случае.
Противоречий нет. Всё уже расписано, вроде как, в постах выше

-- Пн авг 13, 2012 17:30:59 --

(Оффтоп)

gris в сообщении #605686 писал(а):

Тут непонятно, что делать с ЭХ. Если она вычисляется чисто через число В, Р и Г, то формула с ней вторична.

That's what I'm talking about!

[Побережный Александр]

Mathusic, тогда приношу свои извинения, я почему то понял, что вы против введения коэффициента $k$.