Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^k_1...a_1^k_n=e$ следует $a_1^k_1=e$, ..., $a_n^k_n=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.

Абелева группа называется свободной если у неё нет элементов конечного порядка и есть базис.

Рангом свободной абелевой группы называется колличество элементов в её базисе.

Лемма
--------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.

Доказательство:
------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^k_2...a_n^k_n \in B$, и $b_1$ - какой либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^k_2...a_n^k_n$.
Согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$, где $m\leq n$.
Элементы $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ - независимы и образуют базис подруппы $B$.

-- Пт авг 10, 2012 17:07:32 --

Исправление
--------------

Феликс Шмидель в сообщении #604789 писал(а):

Лемма
--------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.

Доказательство:
------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^k_2...a_n^k_n \in B$, и $b_1$ - какой либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^k_2...a_n^k_n$.
Согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$, где $m\leq n$.
Элементы $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ - независимы и образуют базис подруппы $B$.

исправляется на:

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.

Лемма
--------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая нетривиальная подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.

Доказательство:
------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^k_2...a_n^k_n \in B$, и $b_1$ - какой либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Если такого $k$ не существует, то $B$ является подгруппой свободной абелевой группы с базисом $a_2$, ..., $a_n$ и лемма верна согласно предположению индукции.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^k_2...a_n^k_n$.
Если $C$ тривиальна, то базисом $B$ является $b_1$.
Пусть $C$ - нетривиальна.
Согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$, где $m\leq n$.
Элементы $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ - независимы и образуют базис подруппы $B$.

[Феликс Шмидель]

Абелева группа называется конечно-генерированной, если она является произведением конечного числа циклических подгрупп.

Теорема
-----------

Пусть $A$ - конечно-генерированная абелева группа, не имеющая элементов конечного порядка.
Тогда $A$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Доказательство
---------------------

Пусть элементы $a_1$, ..., $a_k$ - генераторы группы $A$.
Пусть $n$ - наибольшее колличество независимых элементов, которые можно выбрать в $A$.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - независимые элементы, выбранные в $A$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, генерируемая элементами $b_1$, ..., $b_n$.
Тогда для любого $j=1, ..., k:$ элементы $a_j$, $b_1$, ..., $b_n$ - зависимы, следовательно
$a_j^m_j \in B$ для некоторого целого положительного числа $m_j$.
Пусть $m$ - наименьшее общее кратное чисел $m_1$, ..., $m_k$.
Тогда для любого $a \in A: a^m \in B$.
Согласно лемме, подруппа элементов вида $a^m$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.
Пусть $c_1^m$, ..., $c_v^m$ - базис этой подгруппы.
Тогда $c_1$, ..., $c_v$ - базис группы $A$ (потому что из $a^m=c^m$ следует $a=c$, ввиду отсутствия элементов конечного порядка).

[Феликс Шмидель]

Пусть $G$ - конечно-генерированная абелева группа, и $T(G)$ - подгруппа её элементов конечного порядка.
Если $T(G)$ совпадает с $G$, то $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.
Пусть $T(G)$ не совпадает с $G$.
Если элемент $g$ не принадлежит $T(G)$, то $g^m$ не принадлежит $T(G)$, где $m$ - любое целое число, отличное от нуля.
Поэтому фактор группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой без элементов конечного порядка.
Следовательно, $G/T(G)$ является свободной абелевой группой конечного ранга.
Пусть $a_1 T(G)$, ..., $a_n T(G)$ - базис фактор группы $G/T(G)$.
Пусть $A$ - подгруппа группы $G$ генерируемая элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Тогда $A$ не имеет с $T(G)$ общих элементов, кроме единицы $e$, и $G$ является прямым произведением подгрупп $T(G)$ и $A$.
Любой из конечного числа генераторов группы $G$ представим в виде произведения элемента из $T(G)$ и элемента из $A$.
Следовательно $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.
Поскольку любой элемент $T(G)$ имеет конечный порядок, то $T(G)$ - конечная группа.

[Феликс Шмидель]

Сведём воедино изложенное введение в теорию групп (с исправлениями).

Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.

Докажем, что $a e=a$ и $a a^{-1}=e$, то есть левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.
Действительно, из $xa=xb$ следует $a=b$ умножением слева на $x^{-1}$, поэтому из
$a^{-1} a e=a^{-1} a$ следует $a e=a$.
Далее из $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$ следует $a a^{-1}=e$.
Теперь из $a x=b x$ следует $a=b$ умножением справа на $x^{-1}$.

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a$ и $b$ из $G$.

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.
Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет 0.
Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения,
удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.
Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.

Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Тогда $G$ разбивается на подмножества вида $g A$, которые называются левыми смежными классами подгруппы $A$.
Левые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.
Если $g_2^{-1} g_1 \in A$, то $g_1 A=g_2 A$.
Если же $g_2^{-1} g_1 \not \in A$, то $g_1 A$ и $g_2 A$ не имеют общих элементов.
Колличество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.
Порядком конечной группы называется колличество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.
Если $A$ подгруппа конечной группы $G$, то из разбиения $G$ на левые смежные классы следует, что $|G|$ делится на $|A|$.
Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.
Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.
Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению, которая называется фактор группой и обозначается $G/A$.
Роль единицы в фактор группе $G/A$ играет сама подгруппа $A$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Для того, чтобы непустое подмножество $A$ группы $G$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.
Если $A$ - конечное подмножество группы $G$, достаточно чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало их произведение $ab$.
Чтобы доказать это, возьмём какой-нибудь $a \in A$ и рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x$, откуда $x=e$, то есть единица принадлежит $A$, и из $a x=e$ следует, что $a^{-1}$ принадлежит $A$.
Поэтому $A$ - подгруппа.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.
Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).
Число $m$ называется порядком элемента $g$.
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.
Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Чтобы доказать это, предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.
Возьмём какой-либо элемент $g$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.
Тогда порядок $a$ делится на $p$, что противоречит тому, что такого элемента нет.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Мы доказали, что в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Из этого следует, что существует элемент, порядок которого равен $p$.
В самом деле, если $p m$ - порядок элемента $g$, то порядок элемента $g^m$ равен $p$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.
Множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Докажем, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Таким образом, порядок $H$ равен наибольшей степени $p$, на которую делится порядок $G$.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

Мы доказали, что существует подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

Произведение подгрупп $H_1$...$H_m$ является прямым произведением тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

1) Пусть $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$. Тогда из $h_1...h_m=e$ следует $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Из этого условия следует:

Любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.
Все произведения вида $h_1...h_m$ различны.

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^k_1...p_m^k_m$, где $p_1$, ..., $p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1$, ..., $H_m$ -подгруппы порядка $p_1^k_1$, ..., $p_m^k_m$.
Мы доказали, что эти подгруппы определены однозначно.
Для них выполняется условие 1).
Произведение этих подгрупп содержит $|G|=p_1^k_1...p_m^k_m$ элементов.
Поэтому $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$, и любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^k_1...a_1^k_n=e$ следует $a_1^k_1=e$, ..., $a_n^k_n=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, отличны от единицы $e$, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.
Чтобы доказать это предположим обратное, и пусть $H$ -конечная абелева группа наименьшего порядка $p^k$, не представимая в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Выберем в $H$ элемент $g$ наибольшего порядка, генерирующий циклическую подгруппу $C$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент группы $H$, не принадлежащий подгруппе $C$.
Пусть $v$ - порядок смежного класса $a C$ в фактор группе $H/C$.
Покажем, что можно выбрать такой элемент $b \in a C$, что $b^v=e$.
Если $a^v=e$ положим $b=a$.
Пусть $a^v\neq e$, $a^v=g^n$, где $n$ - целое положительное число.
Пусть $n=n_1 n_2$, где $n_1$ не делится на $p$, а $n_2$ является степенью $p$.
Тогда порядок $a^v$ в $C$ равен $|C|/n_2$, следовательно порядок $a$ в $H$ равен $v |C|/n_2$.
В силу максимальности $|C|$ имеем: $v |C|/n_2\leq |C|$, откуда $v\leq n_2$.
Поскольку $v$ и $n_2$ являются степенями $p$, то $n_2$ делится на $v$, значит и $n$ делится на $v$.
Пусть $b=a g^{-n/v}$.
Тогда $b^v=a^v g^{-n}=g^n g^{-n}=e$, что и требовалось.

Поскольку $b^v=e$, то циклическая подгруппа группы $H$, генерированная элементом $b$ не имеет с $C$ общих элементов, кроме $e$.

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C$, ..., $b_m C$, где элементы $b_1$, ..., $b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы (группы $H$) не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.
Пусть $A_1$, ..., $A_m$ - эти циклические подгруппы, генерируемые элементами $b_1$, ..., $b_m$.
Для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$: если $(a_1 C)...(a_m C)=C$, то $a_1 C=C$, ..., $a_m C=C$, следовательно $a_1$, ..., $a_m$ принадлежат $C$, значит равны $e$.
Поэтому, для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$ и любого элемента $c \in C$: если $a_1...a_m c=e$, то $a_1=e$, ...,$a_m=e$, значит и $c=e$.

Следовательно, группа $H$ является прямым произведением циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$ и $C$, что противоречит предположению.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $H$ является прямым произведением нетривиальных циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.
Подгруппы $A_1$, ..., $A_m$ не определяются однозначно группой $H$.
Однако их колличество и порядки определены однозначно с точностью до перестановки.
В частности, $p^m$ равно числу элементов группы $H$, имеющих порядок $p$.
В самом деле, если $(a_1...a_m)^p=e$, где $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$, то $a_1^p=e$, ..., $a_m^p=e$ в силу независимости элементов $a_1^p$, ...,$a_m^p$.
Поскольку в каждой из циклических подгрупп имеется ровно $p$ элементов порядка $p$, то колличество произведений $a_1...a_m$ порядка $p$ равно $p^m$.

Пусть теперь $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ - два разложения группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, то есть $|A_1|\geq...\geq |A_m|$ и $|B_1|\geq...\geq |B_m|$.

Тогда $|A_1|=|B_1$|, ..., $|A_m|=|B_m|$.

Для доказательства этого предположим обратное, и пусть $H$ - абелева группа наименьшего порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число, для которой это неверно.

Для любой абелевой группы $G$ обозначим $G^{(p)}$ множество элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Множество $G^{(p)}$ является подгруппой группы $G$.
Если $G$ - циклическая группа порядка $p^v$, где $v$ - целое положительное число, то $G^{(p)}$ - циклическая группа порядка $p^{v-1}$.

Имеем: $H^{(p)}=A_1^{(p)}...A_m^{(p)}=B_1^{(p)}...B_m^{(p)}$ - два разложения группы $H^{(p)}$ в прямое произведение циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков.
Среди циклических подгрупп $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ могут быть тривиальные, но колличество нетривиальных подгрупп одинаково среди $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и среди $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$.
Обозначим это колличество через $n$.
Если $n<m$, то все подгруппы $A_{n+1}^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_{n+1}^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ - тривиальные, откуда все циклические подгруппы $A_{n+1}$, ..., $A_m$ и $B_{n+1}$, ..., $B_m$ имеют одинаковый порядок $p$.
Если $n=0$, то это противоречит предположению.
Пусть $n>0$.
Поскольку $|H^{(p)}|<|H|$, то ввиду минимальности порядка группы $H$ имеем: $|A_1^{(p)}|=|B_1^{(p)}|$, ..., $|A_n^{(p)}|=|B_n^{(p)}|$, откуда $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_n|=|B_n|$.
Значит $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_m|=|B_m|$, что противоречит предположению.

(Оффтоп)

Продолжение в следующем сообщении, иначе получается слишком длинное сообщение.

[Феликс Шмидель]

Абелева группа называется свободной если у неё нет элементов конечного порядка (кроме единицы) и есть базис.

Рангом свободной абелевой группы называется колличество элементов в её базисе.

Лемма
------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая нетривиальная подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.

Доказательство:
-------------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^k_2...a_n^k_n \in B$, и $b_1$ - какой либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Если такого $k$ не существует, то $B$ является подгруппой свободной абелевой группы с базисом $a_2$, ..., $a_n$ и лемма верна согласно предположению индукции.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^k_2...a_n^k_n$.
Если $C$ тривиальна, то базисом $B$ является $b_1$.
Пусть $C$ - нетривиальна.
Согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$, где $m\leq n$.
Элементы $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ - независимы и образуют базис подруппы $B$.

Абелева группа называется конечно-генерированной, если она является произведением конечного числа циклических подгрупп.

Теорема
--------------

Пусть $A$ - конечно-генерированная абелева группа, не имеющая элементов конечного порядка.
Тогда $A$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Доказательство
------------------------

Пусть элементы $a_1$, ..., $a_k$ - генераторы группы $A$.
Пусть $n$ - наибольшее колличество независимых элементов, которые можно выбрать в $A$.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - независимые элементы, выбранные в $A$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, генерируемая элементами $b_1$, ..., $b_n$.
Тогда для любого $j=1, ..., k:$ элементы $a_j$, $b_1$, ..., $b_n$ - зависимы, следовательно
$a_j^m_j \in B$ для некоторого целого положительного числа $m_j$.
Пусть $m$ - наименьшее общее кратное чисел $m_1$, ..., $m_k$.
Тогда для любого $a \in A: a^m \in B$.
Согласно лемме, подруппа элементов вида $a^m$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.
Пусть $c_1^m$, ..., $c_v^m$ - базис этой подгруппы.
Тогда $c_1$, ..., $c_v$ - базис группы $A$ (потому что из $a^m=c^m$ следует $a=c$, ввиду отсутствия элементов конечного порядка).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечно-генерированная абелева группа, и $T(G)$ - подгруппа её элементов конечного порядка.
Если $T(G)$ совпадает с $G$, то $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.
Пусть $T(G)$ не совпадает с $G$.
Если элемент $g$ не принадлежит $T(G)$, то $g^m$ не принадлежит $T(G)$, где $m$ - любое целое число, отличное от нуля.
Поэтому фактор группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой без элементов конечного порядка.
Следовательно, $G/T(G)$ является свободной абелевой группой конечного ранга.
Пусть $a_1 T(G)$, ..., $a_n T(G)$ - базис фактор группы $G/T(G)$.
Пусть $A$ - подгруппа группы $G$ генерируемая элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Тогда $A$ не имеет с $T(G)$ общих элементов, кроме единицы $e$, и $G$ является прямым произведением подгрупп $T(G)$ и $A$.
Любой из конечного числа генераторов группы $G$ представим в виде произведения элемента из $T(G)$ и элемента из $A$.
Следовательно $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.
Поскольку любой элемент $T(G)$ имеет конечный порядок, то $T(G)$ - конечная группа.

[Феликс Шмидель]

Теорема (Теорема 29, стр. 36, "Лекции по теории алгебраических чисел", Гекке).
--------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $p$ - простое число.
Пусть $G=A_1...A_n$ - прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп.
Пусть $G^{(p)}$ -подгруппа элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Тогда $|G/G^{(p)}|=p^m$, где $m$ - колличество подгрупп среди $A_1$, ..., $A_n$, порядок которых является степенью $p$.

Доказательство
--------------------------

Если $|G|$ не делится на $p$, то $m=0$ и $G^{(p)}$ совпадает с $G$, поэтому теорема верна.
Пусть $|G|$ делится на $p$.
Пусть подгруппы $A_1$, ..., $A_m$ имеют порядок, который является степенью $p$.
Пусть $a_1$, ..., $a_m$ - генераторы циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.
Любой элемент $g \in G$ однозначно представим в виде $a_1^k_1...a_m^k_m c$, где $k_1<|A_1|$, ..., $k_m<|A_m|$ - целые неотрицательные числа, а $c$ - элемент группы $G$, порядок которого не делится на $p$.
Два элемента $a_1^k_1...a_m^k_m c_1$ и $a_1^t_1...a_m^t_m c_2$ принадлежат одному смежному классу фактор группы $G/G^{(p)}$ тогда и только тогда, когда $k_1 \equiv t_1$, ..., $k_m \equiv t_m$ по модулю $p$ ($c_1^{-1} c_2 \in G^{(p)}$, поскольку порядок элемента $c_1^{-1} c_2$ не делится на $p$).
Значит имеется $p^m$ смежных классов.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема
---------------

Пусть $G$ - свободная абелева группа ранга $n$, и $p$ - простое число.
Пусть $G^{(p)}$ -подгруппа элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Тогда $|G/G^{(p)}|=p^n$.

Доказательство
-------------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $G$.
Любой элемент $g \in G$ однозначно представим в виде $a_1^k_1...a_n^k_n$, где $k_1$, ..., $k_n$ - целые числа.
Два элемента $a_1^k_1...a_n^k_n$ и $a_1^t_1...a_n^t_n$ принадлежат одному смежному классу фактор группы $G/G^{(p)}$ тогда и только тогда, когда $k_1 \equiv t_1$, ..., $k_n \equiv t_n$ по модулю $p$.
Значит имеется $p^n$ смежных классов.

[ishhan]

Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):

Поскольку ВТФ равносильна разрешимости уравнения $x^{2n}-4v^n=c^2$ в целых числах,
то можно пытаться использовать закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

Уважаемый Феликс Шмидель!
Вот в самом первом сообщении по закону квадратичной взаимности Вы рассматриваете уравнение вида
$x^{2n}-4v^n=c^2$
А Вы уже рассматривали более простой частный случай на применение этого закона?
Имеет смысл взять какую либо-чётную степень $n=2k $ и "методом квадратичной взаимности" объяснить невозможность уравнения $x^{2k} +y^{2k}=z^{2k}$ для какого нибудь частного случая.
С уважением.
P.S. Было бы неплохо увидеть в Вашем конспекте изложение понятий:
1) сопряжённые алгебраические числа
2) норма алгебраических чисел
3) единицы

[Belfegor]

ishhan в сообщении #605217 писал(а):

Имеет смысл взять какую либо-чётную степень $n=2k $ и "методом квадратичной взаимности" объяснить невозможность уравнения $x^{2k} +y^{2k}=z^{2k}$ для какого нибудь частного случая.

Уважаемый ishhan! Какой смысл доказывать для четных степеней, когда Ферма элементарно доказал для $n=4k+4 $, а для $n=4k+2 $ получим из доказательства простых степеней?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #605226 писал(а):

Уважаемый ishhan! Какой смысл доказывать для четных степеней, когда Ферма элементарно доказал для $n=4k+4 $, а для $n=4k+2 $ получим из доказательства простых степеней?

Уважаемый Belfegor!
Речь идёт об иллюстрации "метода квадратичной взаимности" на частном примере
"Закон квадратичной взаимности" хорошо описан в книге Chandrasekharan.K. введение в теорию чисел, советую ознакомиться.
Как его применить для анализа ВТФ пока не ясно.

[Someone]

Ну, смысл доказывать специально для чётных степеней вполне может быть. Если, например, для этого случая отыщется либо простое, либо элементарное доказательство. Не апеллирующее, естественно, к теореме, доказанной для простых степеней.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #605258 писал(а):

Уважаемый Belfegor!
Речь идёт об иллюстрации "метода квадратичной взаимности" на частном примере
"Закон квадратичной взаимности" хорошо описан в книге Chandrasekharan.K. введение в теорию чисел, советую ознакомиться.
Как его применить для анализа ВТФ пока не ясно.

Уважаемый ishhan! Неужели ещё осталась нетронутая заимка? Так получается верной дорогой идем... Странно, книга написана в 1968 году, неужели, Уайлз не знал о её существовании...Или пошёл традиционным путём?

-- Вс авг 12, 2012 13:55:43 --

Someone в сообщении #605260 писал(а):

Ну, смысл доказывать специально для чётных степеней вполне может быть. Если, например, для этого случая отыщется либо простое, либо элементарное доказательство. Не апеллирующее, естественно, к теореме, доказанной для простых степеней.

То есть элементарное доказательство для четных степеней $4n+2$ всё равно успех
Какие сложности вызывает доказательство для $n=6$, например?

[Someone]

Я не в курсе, поскольку Великой теоремой Ферма никогда не занимался. Но здесь на форуме кто-то писал об элементарном доказательстве для чётных степеней, независимом от доказательства общего случая.

Что-то нашёл: "Элементарное доказательство ВТФ для четных показателей n." Но, может быть, есть ещё аналогичные темы.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #605308 писал(а):

Я не в курсе, поскольку Великой теоремой Ферма никогда не занимался. Но здесь на форуме кто-то писал об элементарном доказательстве для чётных степеней, независимом от доказательства общего случая.

Что-то нашёл: "Элементарное доказательство ВТФ для четных показателей n." Но, может быть, есть ещё аналогичные темы.

Руст в сообщении #384866 писал(а):

Больше не буду вам отвечать, раз не хотите понять свою ошибку.
Если знаете элементарное доказательство Тержаняна более тонкое и то он проходит только для первого случая..

iakowlew в сообщении #389120 писал(а):

Это док-во я аннулирую...

Так, что успешного доказательство ВТФ для чётных степеней на форуме не было.
В 1977 году Тержанян нашёл простое доказательство "первого случая" теоремы Ферма для чётных степеней.
Его доказательство основано на использовании закона квадратичной взаимности.

-- Вс авг 12, 2012 14:03:00 --

ishhan в сообщении #605217 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #600312 писал(а):

Поскольку ВТФ равносильна разрешимости уравнения $x^{2n}-4v^n=c^2$ в целых числах,
то можно пытаться использовать закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

Уважаемый Феликс Шмидель!
Вот в самом первом сообщении по закону квадратичной взаимности Вы рассматриваете уравнение вида
$x^{2n}-4v^n=c^2$
А Вы уже рассматривали более простой частный случай на применение этого закона?
Имеет смысл взять какую либо-чётную степень $n=2k $ и "методом квадратичной взаимности" объяснить невозможность уравнения $x^{2k} +y^{2k}=z^{2k}$ для какого нибудь частного случая.

Это очень легко сделать.
В 1977 году Тержанян доказал "первый случай" теоремы Ферма для чётных степеней:
Его элементарное доказательство как раз и основано на использовании закона квадратичной взаимности.

ishhan в сообщении #605217 писал(а):

P.S. Было бы неплохо увидеть в Вашем конспекте изложение понятий:
1) сопряжённые алгебраические числа
2) норма алгебраических чисел
3) единицы

Я собираюсь это сделать.

[Феликс Шмидель]

Пусть $A$ - свободная абелева группа по сложению ранга $n$.
Элементы $a_1$, ..., $a_m$, принадлежащие группе $A$, независимы если из $k_1 a_1+...+k_m a_m=0$ следует $k_1=0$, ..., $k_m=0$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_m$.
Выражение вида $k_1 a_1+...+k_m a_m$ называется линейной комбинацией элементов $a_1$, ..., $a_m$.
Если эти элементы независимы, то они называются также линейно-независимыми.
Любой элемент группы $A$ однозначно представим в виде линейной комбинации элементов базиса.
Поэтому группа $A$ представима группой $Z^n$ упорядоченных наборов $(k_1, ..., k_n)$ целых чисел.
Из линейной алгебры известно, что любые $n+1$ таких набора линейно-зависимы.
Значит в одном базисе группы $A$ не может быть больше элементов, чем в другом, поэтому в любом базисе группы $A$ ровно $n$ элементов.

Пусть $B$ - подгруппа группы $A$ ранга $m$.
Мы доказали, что $m\leq n$.
Докажем, что фактор группа $A/B$ конечна тогда и только тогда, когда $m=n$.
Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$, и $b_1$, ..., $b_m$ - базис группы $B$.
1. Пусть фактор группа $A/B$ конечна.
Пусть $k$ - порядок группы $A/B$.
Для любого $a \in A$: $k a \in B$, следовательно $k A$ является подгруппой группы $B$, значит $n \leq m$, значит $m=n$.
2. Пусть $m=n$
Для любого $j=1, ..., n$: элементы $a_j$, $b_1$, ..., $b_m$ линейно зависимы, поэтому элементы $a_j B$ фактор группы $A/B$ имеют конечный порядок, а поскольку они её генерируют, то она конечна.

[Феликс Шмидель]

Свойства абелевых групп не зависят от того какая операция в группе: сложение или умножение.
Мы возвращаемся к абелевым группам по умножению.

Пусть $A$ - свободная абелева группа по умножению ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$.
Мы доказали, что фактор группа $A/B$ конечна.
Для некоторых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$: $a_1^k_1 \in B$, ..., $a_n^k_n \in B$.
Эти элементы подгруппы $B$ независимы, однако они не обязательно образуют базис $B$.
Мы получили базис $B$ при доказательстве следующей леммы:

Феликс Шмидель в [url=http://dxdy.ru/post605082.html#p605082] писал(а):

Лемма
------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая нетривиальная подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.

Доказательство:
-------------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^k_2...a_n^k_n \in B$, и $b_1$ - какой либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Если такого $k$ не существует, то $B$ является подгруппой свободной абелевой группы с базисом $a_2$, ..., $a_n$ и лемма верна согласно предположению индукции.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^k_2...a_n^k_n$.
Если $C$ тривиальна, то базисом $B$ является $b_1$.
Пусть $C$ - нетривиальна.
Согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$, где $m\leq n$.
Элементы $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ - независимы и образуют базис подруппы $B$.

В нашем случае $m=n$, и базис подгруппы $B$ имеет вид: $b_1=a_1^k_{11}...a_n^k_{1n}$, $b_2=a_2^k_{22}...a_n^k_{2n}$, ..., $b_n=a_n^k_{nn}$, где $k_{11}$, ..., $k_{nn}$ - целые положительные числа.

Таким образом, мы доказали Теорему 35, стр. 45, "Теория алгебраических чисел", Гекке.