2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 17:20 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
gris в сообщении #604799 писал(а):
Вчера, увидев теорему, я не поверил в её справедливость и стал подыскивать контрпримеры. Впрочем, вспомнил, что что-то такое читал то ли в кванте, то ли у Пойа, то ли у Адамара.

А я вам говорю, gris, приоритет будет за нами -- он будет за нами! :D

(Оффтоп)

Быть может, вы грешным делом подумали, что мы с Александром Побережным присвоим открытие полностью себе?
Конечно же нет! Мы включим и вас! (Александр Побережный не будет против, надеюсь :roll: )
История будет знать этот замечательный результат как (теорема) формула Побережного-Mathusic'a-gris'a.
Ну а что тут ваше фамилиё на последнем месте стоит, так, надеюсь, вы не сильно обидитесь.
Тут уж как традиция сложится в математике... Некоторые будут просто ссылаться на формулу Побережного, другие всегда будут называть ее формулой Побережного-Mathusic'a, ну а третьи вообще -- кратко и лаконично формулой gris'a как изначально первого справедливо заметившего, что в исходной формулировке перед первой суммой надо бы поставить двойку.
Ну, в общем, как с неравенством Коши — Буняковского — Шварца... :D


gris в сообщении #604799 писал(а):
Я только в одном имею некоторое затруднение.

gris в сообщении #604799 писал(а):
Но тогда встаёт вопрос: а можем ли мы к радианам прибавлять стерадианы?

Ну, даже если тут и испытывать такие затруднения, то посмотрите на предыдущую запись формулы -- в правой части стерадианы, в левой -- числа, тоже, стало быть, они -- стерадианы, значит. Всё сходится :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13755
В формуле $\Omega=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ справа радианы, а слева стерадианы.
Если бы мы считали двугранный угол в стерадианах, то должны были бы записать $\Omega=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}2-\pi$
Я тоже иногда считаю двугранный угол телесным углом и убеждён, что таковой угол, образованный двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, равен $\pi$ стерадиан. Но наименование безразмерных единиц часто опускается, и получается, что по умолчанию двугранный угол измеряется в радианах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 17:37 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
gris, по-моему, это обсуждение для другой темы.
Если мы в формуле можем указать каждой букве стерадиан она или просто радиан, то всё нормально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72173
gris в сообщении #604799 писал(а):
Пожалуй, тут только munin может проконсультировать.

Не, не могу :-) Хотя мне кажется, что прибавлять к телесным логичнее телесные, а выражение через двугранные - тяга к традиции и удобству привязки к простым знакомым понятиям планиметрии. Впрочем, и то и другое допустимо, раз они безразмерны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13755
Munin, Вы, прямо, как ОН: телесное телесному, а богово, то есть духовное духовному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72173
Ну и параллели у вас :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение10.08.2012, 19:53 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Так, коль уж оговорился, то приведу набросок доказательства.
-----
1) Исходя из утверждения $\Omega=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ уже упомянутого для трёхгранного угла, доказываем аналог для $n$-гранного: $\Omega_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{\gamma_k}-(n-2)\pi$
2) Суммируем в выпуклом многограннике телесные многогранные углы по всем вершинам:
$$\sum\limits_{i=1}^{B}{\Omega_i}=\sum\limits_{i=1}^{B}{\mu_i}-\sum\limits_{i=1}^{B}{(\lambda_i-2)\pi}$$
Где $\mu_i$ - сумма линейных мер двугранных углов многогранного угла при вершине $i$
$\lambda_i$ - количество граней при $i$-ой вершине.
3) Преобразовываем каждую сумму справа и применяем формулу Эйлера $B-P+\Gamma=2$, ага :D
(Хотя можно этого не делать, а оставить просто так)

В итоге получаем
$$\boxed {2 \pi (\Gamma - 2) = \sum \limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum \limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$
Где $\omega_i$ и $\Omega_j$ - телесные углы при рёбрах и вершинах соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 06:04 


29/07/08
520
Утверждение доказано! Уважаемые Mathusic и gris с удовольствием делюсь с вами приоритетом. :D
А что дальше? Предлагаю на форуме сделать раздел "Достижения наших форумчан" :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 11:01 


29/07/08
520
В условии рассматриваются только выпуклые многогранники. Но по моим прикидкам формула будет выполняться для любых многогранников, т.е и для не выпуклых. Просто будут присутствовать в формуле телесные углы больше, чем $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17038
Москва
А вот это вряд ли. Я не проверял, но попробуйте рассмотреть многогранник в виде квадратной рамы (с "дыркой").

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 12:36 


29/07/08
520
Уважаемый Someone, для квадратной рамы с дыркой все выполняется.
Привожу расчеты:

В (вершины)=16
Г (грани)=10
Р (ребро)=24

$(10-2)2\pi=(12\pi+8\pi+4(4\pi-\pi))-(8\frac{\pi}2+8\frac{3\pi}2)$

Двугранные углы заданы в стерадианах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13755
Но вот давайте осторожно чуть-чуть опустим, вдавим вниз, "пустую" грань внутреннего параллелепипеда. Телесные и двугранные углы практически не изменятся, но количество граней увеличится на3, а количество рёбер на 4, то есть добавится 4 двугранных угла примерно по $2\pi$. Плоский прямоугольник с дыркой превратится в неплоское объединение четырех трапеций. Соотношение изменится.
Заодно и формула Эйлера пострадает.

+++ Или кто-то из нас некорректно её считает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 13:50 


29/07/08
520
Эйлерова характеристика - это величина равная В+Г-Р.
Похоже, что моя формула работает только для многогранников, у которых эйлерова характеристика равна 2. А такими могут быть и не выпуклые многогранники.
А корректная такая постановка задачи: для каждой эйлеровой характеристики будет такая же формула, но немного модернизированная? Типа вместо двойки будет некий коэффициент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 17:11 


29/07/08
520
И все таки хочу предложить формулу, распространяющуюся на все многогранники.
Она выглядит следующим образом.

Пусть эйлерова характеристика $k=\Gamma+B-P$
тогда будет выполняться:

$$\boxed{2\pi(\Gamma-k)=\sum\limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum\limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$

где $\omega_i$ - двугранные углы многогранника в стерадианах,
$\Omega_j$ - телесные углы при вершинах многогранника


Чтобы привести пример работы формулы, рассмотрел куб, у которого на одной из граней ямка в виде маленького куба.

$B=16$

$\Gamma=11$

$P=24$

$k=16+11-24=3$

$2\pi(11-3)=(16\pi+8(3\pi))-(8\frac{\pi}2+4(4\pi-\frac{\pi}2)+4(\frac{3\pi}2))$

В этом случае формула работает. К сожалению, я снова это не могу доказать. Сейчас это у меня как правдоподобная идея. В таком виде формула имеет более общий характер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника
Сообщение11.08.2012, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72173
Побережный Александр в сообщении #605089 писал(а):
Чтобы привести пример работы формулы, рассмотрел куб, у которого на одной из граней ямка в виде маленького куба.

У любого многогранника, гомеоморфного сфере (то есть без дырок), эйлерова характеристика должна быть 2, а у вас 3.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group