Выпуклость?

[CBst]

Для выпуклых функция должно выполняться, в том числе $g(x)g''(x) \ge (g'(x))^2$. Не нашел, где про это почитать. Везде одни примитивные свойства выписаны. Где почитать про такие? Спасибо.

[Padawan]

А для функции $g(x)=e^{-x^2}$ на промежутке $(10,20)$ не выполняется. Вообще, для выпулой функции должно выполнятся неравенство $g''(x)\geqslant 0$. Откуда еще что-то сверх этого в общем случае возьмется?

[ewert]

CBst в сообщении #602290 писал(а):

Для выпуклых функция должно выполняться, в том числе $g(x)g''(x) \ge (g'(x))^2$.

Не должно. Это условие (для положительных функций, естественно) равносильно выпуклости функции $\ln g(x)$. Но из выпуклости функции $g(x)$, разумеется, не следует выпуклость её логарифма. Вот в обратную сторону -- следует.

[CBst]

Да, я не в теме. Где про всякие такие штуки можно прочесть?

[Shtorm]

CBst в сообщении #602299 писал(а):

Да, я не в теме. Где про всякие такие штуки можно прочесть?

Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. том 1., глава 4., параграф 2.

[CBst]

Спасибо.

[samson4747]

Быть может Вы имели ввиду условие(необходимое и достаточное) на $(\alpha,\,\beta)$

$$ff''\leqslant2(f')^2,$$

для выпуклости функции $\dfrac{1}{f}$ на $(\alpha,\,\beta)$, но тут полно условий на функцию $f$:

$f$ дифференцируема и положительна на $(\alpha,\,\beta)$.

В качестве задачки можете доказать это условие

[CBst]

samson4747 в сообщении #602433 писал(а):

Быть может Вы имели ввиду условие(необходимое и достаточное) на $(\alpha,\,\beta)$

$$ff''\leqslant2(f')^2,$$

для выпуклости функции $\dfrac{1}{f}$ на $(\alpha,\,\beta)$, но тут полно условий на функцию $f$:

$f$ дифференцируема и положительна на $(\alpha,\,\beta)$.

В качестве задачки можете доказать это условие

Я не понял что вы написали, сорри. =)
В фихтенгольце не нашел нужного, зато дошло что $g(x)g''(x) \ge (g'(x))^2$, по сути - это неотрицательность определителя. Видимо для матрицы вида $\left( \begin{array}{cc} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{array} \right)$ определитель должен быть больше или равен нулю.
Осталось понять, почему.

[ewert]

Там дело не в определителе. А просто в том, что после перенесения всего в левую часть и деления потом на квадрат функции получается производная от отношения первой производной к самой функции; вот это-то отношение и оказывается монотонным. А вот зачем оказывается, кто приказал, с какой целью -- так и остаётся загадкой.

[apriv]

Как же это дело не в определителе. Не бывает в жизни таких совпадений, что выражение вида $ac-b^2$ и не определитель. Конечно, это практически гессиан понятно какой функции.

[CBst]

apriv в сообщении #602488 писал(а):

Как же это дело не в определителе. Не бывает в жизни таких совпадений, что выражение вида $ac-b^2$ и не определитель. Конечно, это практически гессиан понятно какой функции.

Не могу подобрать функцию. Вы не поделитесь? Или подсказку какую-нибудь прозрачную дадите?

PS: Все, нашел как это называется. Log-concave functions, если кто не знал. Жаль что никто раньше не сказал.