Тензоры - как себе представить?

[Sergey K]

Что такое дивергенция и ротор, я могу себе более-менее наглядно представить. А вот тензор - как себе вообразить? поясните, пожалуйста, на каком-нибудь доходчивом примере. что он отображает среди реальных объектов?

[Aritaborian]

Можно, я про абстрактные объекты? ;-) Очень грубо: скаляр есть число, вектор есть список чисел, матрица есть таблица чисел, тензор есть стопка матриц — трёхмерная таблица чисел. Далее: тензоры могут быть и четырёхмерными, и далее. Более того, скаляры-векторы-матрицы — тоже тензоры, вообще говоря ;-)

[Munin]

Это большая проблема (в смысле, не научная, а методическая), и к сожалению, ей мало внимания уделяют в учебниках. Общего решения у неё нет.

Симметричный тензор 2 ранга часто изображают эллипсоидом. См., например, эллипсоид инерции. Такой эллипсоид показывает и направления главных осей тензора, и величины собственных чисел. Если собственные числа отрицательны - получается гиперболоид или мнимый эллипсоид.

Антисимметричный тензор 2 ранга показывает некоторое вращение в плоскости (или в плоскостях, для размерностей 4 и выше), на 90°, плюс умножение на коэффициент (для каждой плоскости свой). Можно геометрически изобразить эти плоскости, или для 3-мерного случая - вектор, перпендикулярный этой плоскости - с ним надо взять векторное произведение.

Тензор 2 ранга можно разбить на симметричную и антисимметричную часть. Кроме того, тензор 2 ранга можно представить себе как линейное преобразование пространства, то есть сочетание поворота и растяжений-сжатий в направлениях разных осей.

С тензорами высших рангов всё сложнее. Полностью симметричные тензоры высших рангов можно представлять себе как функцию на сфере, подобно тому, каким сферическим распределениям соответствуют мультипольные моменты. Полностью антисимметричные тензоры можно представлять себе как внешние формы (тж. $p$-формы, дифференциальные формы) - в виде площадок, ячеек, и т. д.

Вообще любой тензор можно представить в базисе мультивекторов, где мультивектор - это тензорное произведение набора векторов. Так что, представляя себе мультивектор, можно понять, как устроен базисный элемент тензоров нужного ранга, правда, надо помнить, что тензор к одному такому элементу может не сводиться.

Если пространство не имеет структуры векторного произведения (ковекторы - ковариантные векторы - не равны обычным векторам), то всё становится ещё сложнее и разнообразнее, некоторые перечисленные соотношения исчезают.

[Aritaborian]

Munin в сообщении #601968 писал(а):

Это большая проблема (в смысле, не научная, а методическая), и к сожалению, ей мало внимания уделяют в учебниках.

То есть, пониманию и использованию тензоров приходиться учиться исключительно на практике?

[lek]

"Величайшим достижением человеческого гения является то, что человек может понять вещи, которые он уже не в силах вообразить."
Лев Ландау

[Munin]

Примеры. Про эллипсоид инерции я уже говорил. Метрический тензор удобно представлять себе эллипсоидом - он совпадает (в линейных координатах) с геометрическим местом точек, расположенных на единичном расстоянии от начала координат. В псевдоевклидовой метрике получается гиперболоид - удобно совмещать и однополостной, и двухполостной гиперболоид, запоминая, который из них соответствует действительным, а другой - мнимым расстояниям (в СТО - времениподобным и пространственноподобным).

Тензор электромагнитного поля - это 2-форма в 4-мерном пространстве-времени. Описанию наглядного образа 2-форм посвящено много места в Мизнере-Торне-Уилере "Гравитация".

Для упругой среды большую роль играют два симметричных тензора 2 ранга: тензор деформации и тензор напряжений. Тензор деформации можно представить себе, если представить малый шарик в исходном недеформированном материале, а потом - как этот шарик выглядит после деформации. Это будет эллипсоид. Тензор напряжений можно представить себе так: выделить мысленно сферическую поверхность, и определить нормальные силы, действующие на неё снаружи.

Много тензоров используется в кристаллофизике, там легко доходят до тензоров 4, а иногда даже 6 ранга.

-- 01.08.2012 20:44:47 --

Aritaborian в сообщении #601971 писал(а):

То есть, пониманию и использованию тензоров приходиться учиться исключительно на практике?

Не скажу насчёт "исключительно", но это магистральный путь.

lek в сообщении #601978 писал(а):

"Величайшим достижением человеческого гения является то, что человек может понять вещи, которые он уже не в силах вообразить."
Лев Ландау

Как всегда, чем громче сказано, тем неаккуратней. К этой фразе надо полабзаца комментариев, как минимум.

[lek]

Ничего и так сойдет...

[Munin]

lek в сообщении #601991 писал(а):

Ничего и так сойдет...

Знаем мы... "Вот так и возникают нездоровые сенсации..."

[Sergey K]

кажется, начинает светать....

а вотhttp://www.gptelecom.ru/Articles/tensor.pdfэта работа - стоит её читать для знакомства с тензорами или что-нибудь наврано? Не могли бы вы пробежаться глазами, она короткая.

[still alive]

Сколько не представляй особо понять без математики невозможно, мне так кажется. Есть хорошие, строгие определения, но в общей физике тензору обычно дают простое определение, которое для её задач ничем не хуже других. Там тензором просто называют многокомпонентную величину ($3^n$ компонент), преобразующуюся по определённому закону:

$T'_{ij...k}=\alpha_{ii'}\alpha_{jj'}...\alpha_{kk'}T_{i'j'...k'}$

Уравнение характеристической поверхности тензора второго ранга выглядит так: $\hat{T}_{ij}x_ix_j=1$, где $\hat{T}_{ij}$ есть исходный тензор в главных осях.

Чтобы представить можно разобрать примеры. В википедии есть замечательная картинка про тензор механического напряжения. Каждая компонента здесь характеризует силу в направлении координатной оси $i$ на единичную площадку перпендикулярную оси $k$.


Ещё есть пример с законом Ома, тоже очень хороший.

-- 01.08.2012, 22:33 --

Munin в сообщении #601988 писал(а):

Много тензоров используется в кристаллофизике, там легко доходят до тензоров 4, а иногда даже 6 ранга.

А можно пример какой-нибудь оттуда? Никогда бы не подумал, что там используются тензора выше третьего ранга.

[Oleg Zubelevich]

Sergey K в сообщении #601917 писал(а):

Что такое дивергенция и ротор, я могу себе более-менее наглядно представить. А вот тензор - как себе вообразить? поясните, пожалуйста, на каком-нибудь доходчивом примере. что он отображает среди реальных объектов?

Геометрический смысл у разных тензоров совершенно разный. Билинейная форма совсем не тоже самое, что оператор. Хотя и то и другое задается матрицей.

Тензор это математическое понятие, и если Вы хотите разобраться как следует придется осваивать это понятие на математическом языке.

Тензор это элемент тензорного произведения. По ряду причин наиболее хорошим является следующее определение.
Пусть $X,Y$ -- векторные пространства. И $B$ -- пространство билинейных функций $f:X\times Y\to\mathbb{R}$. Тензорным произведением элементов $x\in X$ и $y\in Y$ (обозначается $x\otimes y$) называется отображение $f\mapsto f(x,y)$. Это отображение является элементом $B^*$. Т.е. это линейная функция на $B$

Линейная оболочка множества всевозможных $x\otimes y$ называется тензорным произведением пространств $X\otimes Y$.

Можно показать, что если $X,Y$ -- конечномерны, то $X\otimes Y=B^*$.
При этом если $\{e_i\}$ -- базис в $X$, а $\{u_j\}$ -- базис в $Y$ то $\{e_i\otimes u_j\}$ -- базис в $X\otimes Y$.

В приложениях к дифференциальной геометрии рассматривают тензорные произведения нескольких экземпляров заданного векторного пространства $L$ с несколькими экземплярами пространства $L^*$.
Вот теперь попробуйте увязать и систематизировать это определение с тем, что Вы слышали раньше тогда придет понимание.

[Munin]

Sergey K в сообщении #602015 писал(а):

а вотhttp://www.gptelecom.ru/Articles/tensor.pdfэта работа - стоит её читать для знакомства с тензорами или что-нибудь наврано? Не могли бы вы пробежаться глазами, она короткая.

Навскидку не вижу, чтобы было наврано. А стоит ли читать - не знаю. Как всегда, надо проверять на стыкуемость с конкретным "чайником". Одним людям понятней одни объяснения, другим - другие.

still alive в сообщении #602018 писал(а):

А можно пример какой-нибудь оттуда? Никогда бы не подумал, что там используются тензора выше третьего ранга.

Тензоров 4 ранга хоть пачками выноси: жёсткость есть коэффициент между тензором напряжения (2 ранг) и тензором деформации (2 ранг), то есть сама имеет ранг 2+2=4. Электрострикция - это зависимость между квадратом электрического поля (2 ранг) и деформацией (2 ранг). Пьезооптика туда же... А вот 6 ранга навскидку не скажу, хотя бывают сложные эффекты, связанные и с механическим напряжением, и с электрическими и/или магнитными явлениями, и с тепловыми - если их свалить в кучу, и начать мерять какую-нибудь нелинейную зависимость - можно добраться до 6 ранга.

-- 01.08.2012 22:09:13 --

Oleg Zubelevich в сообщении #602024 писал(а):

По ряду причин наиболее хорошим является следующее определение.

Sergey K
Не относитесь к этому заявлению излишне всерьёз. Данное определение слишком запутанное, чтобы величать его "наиболее хорошим", по крайней мере на этапе, когда вы только начинаете знакомство с тензорами, а что такое звёздочка - вообще не знаете. Oleg Zubelevich страдает тягой говорить излишне глубокомысленно, подбирая уровень так, чтобы слушатель его не понял.

[VTur]

Проще определить смысл компонент тензора через изменения свойств. Например, xij показывает как меняется свойство х по направлению i, если двигаться вдоль направления j. Тупой пример - двигаемся внутри горы по тоннелю в направлению "туда" (i) и смотрим как меняется "высота" (j) горы над головой.
Тензор первого ранга - движение по одномерной кривой, второго - на плоскости, третьего - в объеме и т.д.

[casualvisitor]

Тензоры - не геометрические объекты, а алгебраические, причем сравнительно сложные и в некотором смысле многообразные.
Произвольный тензор никакого геометрического образа не имеет.
Если данным типом тензоров описывается какая-то физическая или геометрическая величина, эту величину можно рассматривать как "наглядную интерпретацию" тензоров данного типа, примеры чего уже были тут приведены.

still alive в сообщении #602018 писал(а):

Есть хорошие, строгие определения, но в общей физике тензору обычно дают простое определение, которое для её задач ничем не хуже других. Там тензором просто называют многокомпонентную величину ($3^n$ компонент), преобразующуюся по определённому закону

Тензоры можно определять в координатной форме (как "величину, преобразующуюся по определённому закону") или в бескоординатной (см. ниже). Бескоординатное определение компактнее, и потому, если и не нагляднее, то в некотором смысле "обозримее". Но координатное более полезно в вычислениях. В идеале, если время не слишком поджимает, то, видимо, оптимальный путь - бескоординатное определение в качестве основы плюс систематический перевод на язык координат.

Из книжки П.Халмош Конечномерные векторные пространства :




По моим наблюдениям а математике второе определение (которое "заслуженно популярно") - стандарт.

[Oleg Zubelevich]

любопытно было бы посмотреть, какие "неприятные технические осложнения" имел в виду Халмош. Вообще замечательная книжка, ее и стоило бы почитать ТС.