Сколько воды протекает через трубу?

[Xey]

Хотел прикинуть сколько кубометров в секунду могло бы сливаться в донный спуск Неберджаевского водохранилища.
Если диаметр туннеля 4.3 м, его длина 149 м , разность уровней примерно 20 м.
По формуле Пуазейля

$Q=\frac {\pi\cdot R^4\cdot P} {8\cdot\mu\cdot\L}$

R=2.15 м
P = 200000 Па
L= 149 м
$\mu$= 0.001 Па*сек (динамическая вязкость воды)

получается многовато
Что не так?

[svv]

Некоторым этапом вывода формулы Пуазёйля является нахождение скорости течения жидкости в "капилляре". На оси скорость равна
$v(0) =\frac{R^2\Delta p}{4\mu L}$
В Вашем случае это даёт $1.55\cdot 10^6 \text{ м/с}$. Скорость фантастическая, из-за этого и объёмный расход неправдоподобный. Значит, надо разобраться со скоростью.

У Вас разность давлений при перепаде высоты $20$ метров $\Delta p = \rho g h \approx 200000\text{ Па}$. Формула Пуазёйля предполагает, что вода течёт под действием этой разности давлений, причём течёт она из области с большим давлением в область с меньшим давлением.

Вроде всё в порядке, но ведь давление меньше на меньшей глубине, и больше на большей глубине? Выходит, такая разность давлений если и толкала бы воду (по формуле Пуазёйля), то только снизу вверх?

[ewert]

Во-первых, вода текла текла по шахте не сплошь, а только близ стенок, и теряла скорость, ударяясь о переход в тоннель; это уже многократно снижает давление. Во-вторых, и в тоннеле течение далеко, далеко не ламинарное. В результате формула если для чего и годится, то разве что для оценки сверху. Оценка -- верная, да; но какой с неё инженерный прок, если она на несколько порядков завышена.

[_hum_]

svv
Наверное ж правильнее записывать закон Пуазейля как

$$v(r) = \frac{d P}{d L}\frac{R^2 - r^2}{4\eta}.$$

Для приведенного случая $\frac{d P}{d L} = \frac{d (\rho g h)}{d h} = \rho g$, и значит,

$$v(r) = \rho g\frac{R^2 - r^2}{4\eta}.$$

[svv]

_hum
Чем Ваша формула $v(r) = \frac{d P}{d L}\frac{R^2 - r^2}{4\eta}$ существенно отличается от моей $v(0) =\frac{R^2\Delta p}{4\mu L}$.
Во-первых, Вы записали её для произвольной точки в канале, находящейся на расстоянии $r$ от оси. Я написал выше, что рассматриваю точку на оси, меня интересует максимальное значение скорости.
Во-вторых, у Вас $\frac{d P}{d L}$ вместо $\frac{\Delta P}{L}$. Не думаю, что это более правильно. В формуле Пуазёйля рассматривается цилиндрический канал с ламинарным течением. Если $\frac{d P}{d L}$ не будет константой, скорость будет зависеть от "продольной" координаты, что противоречит уравнению неразрывности.
Далее, Вы смешиваете $L$ (длину канала) и $h$ (перепад высот). В данной задаче $L=149 \text{ м}$, $h=20 \text{ м}$.

Xey
Моё основное возражение — неприменимость формулы к ситуации, когда есть перепады высот. Точнее, неприменимость разницы давлений $\rho g h$ в качестве величины, которую надо подставлять вместо $\Delta p$.

Представьте, что я беру прямую трубу длиной $1$ километр (и радиусом, скажем, $1$ метр) и подвешиваю её в глубине океана так, что верхний конец находится на глубине $1$ километр, а нижний на глубине $2$ километра. Несмотря на колоссальную разницу давлений, вода почему-то не течёт, хотя по формуле Пуазёйля очень даже должна.

Теперь я устраиваю небольшую дополнительную разницу давлений $p_0$ (скажем, чем-то там заталкиваю воду в трубу сверху). Вода начинает лениво течь, но Вы же понимаете, что для результирующего $Q$ роль играет только эта небольшая $p_0$, но никак не та разница давлений в $10^7\text{ Па}$, что происходит от перепада высот.

[_hum_]

svv в сообщении #601642 писал(а):

Во-вторых, у Вас $\frac{d P}{d L}$ вместо $\frac{\Delta P}{L}$. Не думаю, что это более правильно. В формуле Пуазёйля рассматривается цилиндрический канал с ламинарным течением. Если $\frac{d P}{d L}$ не будет константой, скорость будет зависеть от "продольной" координаты, что противоречит уравнению неразрывности.

Я просто ссылаюсь на формулировку закона (Wiki):
секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы.

svv в сообщении #601642 писал(а):

Далее, Вы смешиваете $L$ (длину канала) и $h$ (перепад высот). В данной задаче $L=149 \text{ м}$, $h=20 \text{ м}$.

Не смешиваю, а пытаюсь представить градиент давления (падение давления на единицу длины трубы) через градиент высоты (труба же, я так полагаю, вертикальная?)

Но что-то, да, не так с применением здесь формулы Пуазелья. Правда, никак не соображу, в чем дело. (И вроде как формула Торичелли больше подходит.)

[_hum_]

Вот вроде бы в этом дело: уравнение Навье-Стокса (http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations) для течения вязкой жидкости в потенциальном поле в цилиндрической системе координат (если ось $Oz $ направить вертикально) в предположении симметрии сводится к:

$$\pho v_z \frac{ \partial v_z}{ \partial z} \,=\, -\frac{ \partial P}{ \partial z} \,+\, \eta \Big[\frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}\big(r\frac{ \partial v_z}{ \partial r}\big) + \frac{ \partial ^2 v_z}{ \partial z^2}\, + \, \pho g\Big].$$

Откуда, если полагать $\partial v_z/ \partial z = 0$, $g = 0$, получается уравнение, из которого выводится формула Пуазейля (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation), а если $\eta = 0$, то формула Бернулли (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_principle)...
Получается, нельзя закон Пуазейля в приведенной задаче использовать. Можно либо закон Бернулли (но тогда без учета вязкости), либо решить приведенное уравнение полностью и получить полную формулу.

(Оффтоп)

Здесь как-нибудь можно URL прятать по аналогии с HTML-ским a-тегом?

[svv]

Давайте ещё используем уравнение неразрывности потока в цилиндрических координатах:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\rho r u_r\right) +\frac{1}{r}\frac{\partial (\rho u_\varphi)}{\partial \varphi} +\frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z} = 0$$

Оно приводится в той же статье Navier–Stokes equations (обратите внимание, как я спрятал URL).

Так как поток ламинарный, $u_\rho=u_\varphi=0$.
Так как поток стационарный, $\frac{\partial}{\partial t}=0$.
Жидкость полагаем для простоты несжимаемой, тогда $\rho=\operatorname{const}$.
Теперь с чистой совестью получаем $\frac{\partial u_z}{\partial z}=0$.
Считаем, что труба вертикальная, тогда $g_z=-g, g_r=0$.
Подставляем это в уравнение Навье-Стокса (для компонент $z$ и $r$):

$$\frac{\partial p}{\partial z}= \mu \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) - \rho g$$

$$\frac{\partial p}{\partial r}=0$$

Если продифференцировать первое уравнение по $z$, справа получим нуль, поэтому и слева нуль, то есть $\frac{\partial p}{\partial z}$ — константа. Чтобы неповадно было её считать функцией $z$, я обозначаю её $-\frac{\Delta p}{L}$.

$$\mu \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) =-\frac{\Delta p}{L}+\rho g$$

Так вот, правая часть и показывает, что из $\Delta p$ надо вычесть ту часть, которая обусловлена силой тяжести, т.е. $\rho g L$.

[_hum_]

Как же так,

svv в сообщении #601725 писал(а):

$\frac{\partial u_z}{\partial z}=0$

Разве это правильно с физической точки зрения - вода же разные скорости имеет у начала трубы и у конца при свободном вытекании? Где здесь подвох? И потом, как же закон Бернулли тогда выведется при $\eta = 0$ (который, по идее, вроде как должен выводиться)?

И, кстати, насколько я понимаю, в нашем же случае $\partial P / \partial z = 0$ (если пренебречь разностью давлений воздуха на концах трубы)?

[svv]

_hum_ писал(а):

вода же разные скорости имеет у начала трубы и у конца при свободном вытекании?

Чтобы скорости были разные, надо или сужать/расширять поток (т.е. трубу) по мере движения, или разорвать его.
Если нет ни того, ни другого, скорость будет одна и та же. Правда, в этом случае и падение нельзя назвать свободным (я выбрасываю из летящего самолета людей одного за другим, а они успевают схватиться за руки, и скорость становится у всех одной и той же).

[_hum_]

Ясно. Но тогда, получается, окончательная формула (поскольку в нашем случае $\partial P / \partial z = 0$, если пренебречь разностью давлений воздуха на концах трубы) все-таки:

$$\mu \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right) = \rho g,$$

и значит,

$$Q = \frac{\rho g}{\mu}\frac{\pi R^4}{8}?$$

То есть, не зависит от длины трубы. Да?

[svv]

_hum_ писал(а):

И, кстати, насколько я понимаю, в нашем же случае $\partial P / \partial z = 0$ (если пренебречь разностью давлений воздуха на концах трубы)?

Простите, я почему-то не заметил этого утверждения... А почему Вы так думаете? Я могу только показать (см. выше), что $\frac{\partial p}{\partial z}$ константа.

Грубо говоря, разность давлений (и ещё $+\rho g$) уравновешивается вязкостью. Жидкость ускорялась бы под действием градиента давления и внешних сил, кабы не вязкость.

[Евгений Машеров]

Оценка сверху через закон сохранения энергии. Упав с высоты 20 метров, тело приобрело бы скорость приблизительно 20 м/с. Это максимально возможная (пренебрегая потерями на трение) скорость воды в тоннеле.
Что даёт объёмный расход 290 кубометров в секунду.

[_hum_]

svv в сообщении #601738 писал(а):

_hum_ писал(а):

И, кстати, насколько я понимаю, в нашем же случае $\partial P / \partial z = 0$ (если пренебречь разностью давлений воздуха на концах трубы)?

Простите, я почему-то не заметил этого утверждения... А почему Вы так думаете? Я могу только показать (см. выше), что $\frac{\partial p}{\partial z}$ константа.

Насколько смог пролистать тему, в качестве давления здесь выступает результат действия внутренних сил, сопротивляющихся изменению объема элемента жидкости. Если рассмотреть элемент на выходе из трубы, то, (с учетом отсутствия сил инерции) результирующая сила, стремящаяся его сжать, будет равна силе "противодействия выталкиванию" со стороны атмосферы. Ну, а значит, давление будет атмосферное. На входе в трубе тоже давление атмосферное.

Евгений Машеров в сообщении #601835 писал(а):

Оценка сверху через закон сохранения энергии. Упав с высоты 20 метров, тело приобрело бы скорость приблизительно 20 м/с. Это максимально возможная (пренебрегая потерями на трение) скорость воды в тоннеле.
Что даёт объёмный расход 290 кубометров в секунду.

Такая оценка, вообще говоря, может оказаться слишком завышенной без учета вязкости (скорости падения в вакууме и воздухе очень отличаются).
И если уж без учета вязкости, то правильнее, ИМХО, просто рассчитать скорость "втечения" жидкости в трубу по формуле Торричелли: $v = \sqrt{2g \Delta h}$, где $\Delta h$ - высота превышения уровня воды в хранилище над отверстием стока.

[Евгений Машеров]

Так это и есть вывод формулы Торичелли. Я просто хотел подчеркнуть, что это оценка сверху. Вязкость только рассеивает часть энергии, уменьшая скорость.
Формула Пуазейля - противоположная крайность, когда расход энергии на ускорение массы жидкости отсутствует или пренебрежимо мал.