Дельта функция

[~SIERRA~]

Дельта-функция Дирака не является функцией пространства Гильберта, почему тогда мы свободно вычисляем интеграл Фурье от этой функции, если условиям Дирихле она не удовлетворяет..

[ewert]

~SIERRA~ в сообщении #601024 писал(а):

Дельта-функция Дирака не является функцией пространства Гильберта, почему тогда мы свободно вычисляем интеграл Фурье от этой функции, если условиям Дирихле она не удовлетворяет..

Вы в одном вопросе умудрились смешать сразу три или четыре совершенно разных постановки задачи. Для вычисления самого по себе интеграла Фурье условия Дирихле совершенно не нужны -- достаточно просто абсолютной интегрируемости функции. А вот дальше возможны расширения или сужения этого понятия в разные стороны -- в зависимости от потребностей. Условия Дирихле сужают класс функций до такого, в котором гарантирована обратимость преобразования Фурье в классическом смысле. Перенос этого преобразования в "пространство Гильберта" также усиливает некоторые (совсем другие) требования, предъявляемые к функциям, но при этом некоторые требования и ослабляет; делается это с той целью, чтобы втиснуть преобразование в это гильбертово пространство, но за это и платить приходится -- формулы для прямого и обратного преобразования понимаются уже не совсем в классическом смысле. Перенос же преобразования на дельта-функцию и вообще обобщённые функции -- это его модификация совсем в третью сторону и по совершенно другим мотивам, совсем уж неклассическим; естественно, ни о какой гильбертовости при этом речи идти уже не может.

[~SIERRA~]

Ок. По порядку
Читая любую книгу,в которой рассмотрены интегралы Фурье или лекции изначально читаем:
"Всякую функцию f(x), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить на интервале (- е, е) в тригонометрический ряд по формуле", "Пусть функция y = f(x) задана на сегменте и удовлетворяет там условиям Дирихле. Чтобы разложить такую функцию в ряд Фурье, нужно её доопределить на сегменте "
Ну вот в любом случае условия Дирихле так и так всплывают. Отсюда и вопрос,каким образом разрешается раскладывать в тот же ряд Фурье дельта функцию??

[ewert]

~SIERRA~ в сообщении #601081 писал(а):

Ну вот в любом случае условия Дирихле так и так всплывают.

Правильно. Потому что в этом месте выводится не преобразование Фурье само по себе, а формулы для его обращения, и вот для обоснования этих формул условия Дирихле и используют (для самого интеграла они не обязательны). Потом оказывается, что эти условия излишне жёсткие, и возникает вопрос, на какие классы функций это преобразование (и его обращение) можно обобщить. Гильбертово пространство $L_2(\mathbb R)$ -- это одно из возможных направлений обобщения (и функции из этого пространства условию Дирихле уже, вообще говоря, не удовлетворяют); обобщённые функции -- другое направление. Но что конкретно обобщается, как, зачем -- это уже элементарными соображениями не объясняется, тут надо просто учить функциональный анализ.

[CowboyHugges]

(Оффтоп)

Боюсь опять вот этот товарищ нарисовался:
http://dxdy.ru/topic39553.html
http://dxdy.ru/topic24373.html.

Иначе зачем тема создана в "Дискуссионных темах", а не в "Помогите решить...".

[ewert]

(Оффтоп)

CowboyHugges в сообщении #601171 писал(а):

Боюсь опять вот этот товарищ нарисовался:

Не очень похоже. Там стиль совершенно другой -- там откровенный троллинг. А тут автор задаёт всё-таки достаточно конкретные вопросы и достаточно спокойно. Во всяком случае, пока.

[~SIERRA~]

Вы много написали,но честно-в моей голове ничего не упорядочилось)
Для прояснения:
Разложить в тот же ряд Фурье мы можем только функции с интегрируемым квадратом же? либо есть какие то еще поправки..но только где их можно посмотреть? Отсюда для меня главная проблема. Изначально оговариваются одни условия,а затем рассматриваем функцию,которая этим условиям не отвечает. Как так?)
Может не догоняю чего))?Но догнать надо

[epros]

~SIERRA~ в сообщении #601351 писал(а):

Изначально оговариваются одни условия,а затем рассматриваем функцию,которая этим условиям не отвечает. Как так?)

Это называется "доопределение" - как натуральные числа доопределяют отрицательными и дробными.

[m_еugene]

Дельта-функция введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%94%D0 ... 0%B8%D1%8F
.
Главное её свойство, ради чего она введена (главным образом) -
это то, что интеграл от этой функции равен 1.

Хотя вся она сосредоточена в точке, и равна в этой точке бесконечности.

А площадь её равна 1.
.

[~SIERRA~]

epros в сообщении #601388 писал(а):

~SIERRA~ в сообщении #601351 писал(а):

Изначально оговариваются одни условия,а затем рассматриваем функцию,которая этим условиям не отвечает. Как так?)

Это называется "доопределение" - как натуральные числа доопределяют отрицательными и дробными.

погодите) отрицательные и дробные числа натуральными не являются. Это же рациональные,вещественные. Т.о. мы получаем новый класс чисел(новое множество). Так почему доопределяя(по-вашему) дельта-функцию мы получаем ее же, а не что то новое(другое). Тем более изначально противоречащее первоначальному определению?

to m_eugene, спасибо)но я знаю что такое Википедия и прочие сайты,и гугл мне в помощь) но он выдает абсолютно разную информацию..причем ссылаясь на умные книжки,написанные не менее умными людьми. Только ответов на мой вопрос так там и не нет собственно.

[Someone]

Дельта-функция $\delta(x)$ - это вообще не функция в том смысле, в каком говорят о функции $f(x)$. Это линейный функционал на некотором пространстве функций, которые называются основными функциями.
Каждая обычная (достаточно хорошая, чтобы можно было интегрировать) функция $f(x)$ определяет линейный функционал $l_f$ на пространстве основных функций по формуле $l_f(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx$, где $\varphi(x)$ - любая основная функция.
Но, например, линейный функционал $l_{\delta}$, определяемый формулой $l_{\delta}(\varphi)=\varphi(0)$, невозможно записать в виде такого интеграла. Дирак ввёл значок $\delta(x)$, обозвал дельта-функцией и наделил свойством $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\delta(x)\,dx=\varhpi(0)$, и теперь мог спокойно писать такой интеграл. Этот "интеграл" ни в коем случае не следует понимать как обычный несобственный интеграл, поскольку он вообще не интеграл, только обозначение такое.

~SIERRA~ в сообщении #601081 писал(а):

Отсюда и вопрос,каким образом разрешается раскладывать в тот же ряд Фурье дельта функцию??

Никаким образом не разрешается. В ряд Фурье разлагается либо периодическая функция, либо функция, заданная на конечном промежутке. Дельта-функция не является ни периодической, ни функцией, заданной на конечном промежутке. Не говоря уже о том, что она вообще не функция.

[ewert]

Someone в сообщении #601472 писал(а):

Дельта-функция не является ни периодической, ни функцией, заданной на конечном промежутке.

Она вполне может рассматриваться как заданная на (точнее, для) конечном промежутке. Скажем, если она упоминается в связи с функцией Грина краевой задачи, то ровно так и рассматривается -- там за пределами промежутка ничего не существует, вообще ничего.

[Someone]

Ну, если на конечном промежутке, тогда да. Тогда ряд Фурье для неё написать можно, но он нигде не сходится. Правда, суммы Фейера можно рассмотреть вместо обычных частичных сумм.

[ewert]

Someone в сообщении #601527 писал(а):

Тогда ряд Фурье для неё написать можно, но он нигде не сходится.

Ну так и интеграл Фурье тоже нигде не сходится, ну и что.

[Someone]

Да ничего. Можно обойтись. И без суммы ряда, и без интеграла Фурье. Главное - обосновать определённые манипуляции с дельта-функцией. А что формально написанный ряд Фурье или интеграл Фурье не сходится - так ему и не к чему сходиться.