Дельта функция

[epros]

~SIERRA~ в сообщении #601468 писал(а):

отрицательные и дробные числа натуральными не являются

Равно как и дельта-функция не является основной функцией. И даже функцией, собственно, не является.

~SIERRA~ в сообщении #601468 писал(а):

Так почему доопределяя(по-вашему) дельта-функцию мы получаем ее же, а не что то новое(другое)

Получаем что-то новое (другое). Обобщённые функции - это уже не функции в строгом смысле.

Преобразование Фурье к дельта-функции применять можно, только для этого нужно доопределить само преобразование Фурье.

[~SIERRA~]

Ммм...каким тогда образом мы доопределяем преобразование Фурье? Не берем во внимание пространство интегрируемых по квадрату функций? И игнорируем условия Дирихле? Или же я неправильно вас понимаю?

-- 01.08.2012, 21:59 --

Цитата:

Дирак ввёл значок $\delta(x)$, обозвал дельта-функцией и наделил свойством $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\delta(x)\,dx=\varhpi(0)$, и теперь мог спокойно писать такой интеграл. Этот "интеграл" ни в коем случае не следует понимать как обычный несобственный интеграл, поскольку он вообще не интеграл, только обозначение такое.

И то есть все,что мы можем делать с человеческим интегралом с этим мы уже не можем делать?)То есть формально это просто значок лишь бы что то было? В книге Дирака тоже читала это, но только смысл от подобного "нововведения"? Для меня непонятен...

[epros]

~SIERRA~ в сообщении #602031 писал(а):

каким тогда образом мы доопределяем преобразование Фурье?

Примерно так же, как доопределяется сложение с рациональных чисел на действительные. Обобщённую функцию можно интерпретировать как предельный случай последовательности основных функций. Соответственно, раз для каждого члена последовательности имеется Фурье-образ, то предельный случай этих Фурье-образов можно рассматривать как Фурье-образ обобщённой функции.

[ewert]

~SIERRA~ в сообщении #602031 писал(а):

Ммм...каким тогда образом мы доопределяем преобразование Фурье?

Очень просто -- сугубо формально. Обобщённая функция $f$ -- это по определению линейный функционал, действующий на "основные" функции $\varphi$. Значения этого функционала обозначаются как $(f,\varphi)$ и интерпретируются как $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,dx$, поскольку именно так задаются линейные функционалы в случае, когда $f$ является обычной функцией. Действие преобразования Фурье $\Phi$ на обобщённую функцию $f$ формально определяется как $(\Phi f,\varphi)=(f,\Phi\varphi)$ -- и опять же на том основании, что именно такое тождество справедливо для обычных функций $f$.

[~SIERRA~]

Цитата:

Обобщённую функцию можно интерпретировать как предельный случай последовательности основных функций

Не совсем понятно что вы имеете в виду. Т.о. дельта-функция рассматривается как предельный случай ВСЕХ основных функций?

-- 03.08.2012, 11:24 --

Цитата:

Обобщённая функция $f$ -- это по определению линейный функционал, действующий на "основные" функции $\varphi$

Тогда почему очень часто дельта-функцию записывают отдельно, без "интеграла", и даже записывают конкретные функции, например та же экспоненциальная формула..Это ошибочно?

[ewert]

~SIERRA~ в сообщении #602632 писал(а):

Т.о. дельта-функция рассматривается как предельный случай ВСЕХ основных функций?

Почему всех? Некоторой конкретной последовательности. Конечно, выбирать эту последовательность можно по-разному, но отнюдь не произвольно. Вообще же любая обобщённая функция является пределом некоторой последовательности основных, но это -- уже теорема (обычно).

~SIERRA~ в сообщении #602632 писал(а):

Тогда почему очень часто дельта-функцию записывают отдельно, без "интеграла", и даже записывают конкретные функции, например та же экспоненциальная формула..

По традиции и по соображениям удобства. Например, таким образом удобно записывать замену переменной, которая в формальном виде выглядит слишком абстрактно.

[~SIERRA~]

Цитата:

Почему всех? Некоторой конкретной последовательности. Конечно, выбирать эту последовательность можно по-разному, но отнюдь не произвольно. Вообще же любая обобщённая функция является пределом некоторой последовательности основных, но это -- уже теорема (обычно).

Где можно посмотреть правила выбора такой последовательности? Вот даже на примере дельта-функции?

[ewert]

~SIERRA~ в сообщении #602648 писал(а):

Где можно посмотреть правила выбора такой последовательности? Вот даже на примере дельта-функции?

В учебнике. Почитайте какой-нибудь учебник по обобщённым функциям. Поймите, это бессмысленно -- обсуждать какие-то частные вопросы до тех пор, пока у Вас не появится хоть какое-то представление об общих понятиях.

[Munin]

Интегралы с этими основными функциями должны сходиться к интегралу с дельта-функцией.

[~SIERRA~]

Суть в том, что помимо учебников по обобщенным функциям, есть книги по нестандартному анализу...
Почитав Хевисайда можно сделать вывод о том, что дельта-функция - абсолютно обычная функция. Дирак ввел свое понимание-заменив бесконечность в нуле интегральным соотношением. Книги по обобщенным функциям похожи одна на другую, переписаны по главам у друг друга. Если знаете хороший первоисточник, напишите автора, буду рада почитать. Все вертится вокруг представления значка интеграла грубо говоря в качестве предела.
Если правильно Вас понимаю, то последовательности функций- это $ \sin(x)/(\pix), \exp(-x^2)/(\pi^{1/2})$ и т.д..

Только при наличии бесконечно малых и бесконечно больших чисел в чем проблема представить дельта-функцию как обычную функцию, со значением в 0 равным бесконечно большому числу. В соответствии со стробирующим свойством дф то,что она бесконечно большая в бесконечно малых промежутках относительно нуля не учитывается.

[epros]

~SIERRA~ в сообщении #602648 писал(а):

Где можно посмотреть правила выбора такой последовательности? Вот даже на примере дельта-функции?

Выбирайте в соответствии с определением дельта-функции. Вы какое определение используете? Если такое:

$(\delta,f) = f(0)$,

то, например, последовательность:

$\delta_n(x) = \frac{n}{ \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{n^2 x^2}{2}}$

подойдёт под это определение (но не только она).

~SIERRA~ в сообщении #602669 писал(а):

Только при наличии бесконечно малых и бесконечно больших чисел в чем проблема представить дельта-функцию как обычную функцию, со значением в 0 равным бесконечно большому числу.

Единичность интеграла отсюда не следует.

[Munin]

~SIERRA~ в сообщении #602669 писал(а):

Суть в том, что помимо учебников по обобщенным функциям, есть книги по нестандартному анализу...

Их не стоит читать вперемешку. Они относятся к очень разным вещам, и плохо будет, если спутаются в голове.

~SIERRA~ в сообщении #602669 писал(а):

Книги по обобщенным функциям похожи одна на другую, переписаны по главам у друг друга.

А знаете, что ещё похоже одна на другую? Таблицы умножения. Удивительно, правда?

[~SIERRA~]

Цитата:

А знаете, что ещё похоже одна на другую? Таблицы умножения. Удивительно, правда?

Безусловно остроумно, бугага.. Но все же похожи то они похожи, но из серии найди три отличия. И отличия часто противоречивые. Не встречали подобного,не?

[Munin]

В таблицах умножения? Нет, не встречал. Покажите.

[~SIERRA~]

Munin в сообщении #602841 писал(а):

В таблицах умножения? Нет, не встречал. Покажите.

))про книги я, что ж язвить то)