Дельта-функция

- это вообще не функция в том смысле, в каком говорят о функции

. Это линейный функционал на некотором пространстве функций, которые называются основными функциями.
Каждая обычная (достаточно хорошая, чтобы можно было интегрировать) функция

определяет линейный функционал

на пространстве основных функций по формуле

, где

- любая основная функция.
Но, например, линейный функционал

, определяемый формулой

, невозможно записать в виде такого интеграла. Дирак ввёл значок

, обозвал дельта-функцией и наделил свойством

, и теперь мог спокойно писать такой интеграл. Этот "интеграл" ни в коем случае не следует понимать как обычный несобственный интеграл, поскольку он вообще не интеграл, только обозначение такое.
Отсюда и вопрос,каким образом разрешается раскладывать в тот же ряд Фурье дельта функцию??
Никаким образом не разрешается. В ряд Фурье разлагается либо периодическая функция, либо функция, заданная на конечном промежутке. Дельта-функция не является ни периодической, ни функцией, заданной на конечном промежутке. Не говоря уже о том, что она вообще не функция.