Частица как представление группы Лоренца.

[lek]

2.5 в сообщении #601000 писал(а):

Вот сейчас мне любопытно - могли бы определить в.ф фермионов не как спиноры (реализацию представления группы вращений) а как "подкрученные спиноры". Например я бы хотел выбрать $f(\omega)$ так, чтобы при повороте на $2\pi$ фермионная в.ф. знак не меняла...

И тогда

$$ \Lambda'(L_2L_1)=\Lambda(L_2L_1)e^{if(\omega)}\ne\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)e^{2if(\omega)}=\Lambda'(L_2) \Lambda'(L_1). $$

Я правильно понял?

[2.5]

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601054 писал(а):

А вы что-нибудь полегче читали? Например Рубакова, классические поля.

Да, читал

EvilPhysicist в сообщении #601054 писал(а):

Можете привести точную цитату. А то, я что-то там такого не нашёл.

С точностью до моих перобозначений

Цитата:

Таким образом соответствие между матрицами $\Lambda(L)$ и преобразованиями $L $ должно сохраняться при умножении. На математическом языке мы говорим, что матрицы $\Lambda$ должны образовывать $n$-мерное представление группы Лоренца.

EvilPhysicist в сообщении #601054 писал(а):

Просто на всякий случай. Дайте определение представление группы.

Когда мы (я, по крайней мере) говорим что какое-либо поле $f$ реализует представление группы Лоренца, я имею в виду что каждому элементу группы Лоренца $L$ соответствует линейный оператор в пространстве полей $f$, и это соответствие - гомоморфизм групп: $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)$

EvilPhysicist в сообщении #601054 писал(а):

По их свойствам. По спину, например.

Ну вообще спин - это характеристика представления поля относительно группы вращений. Поля, которые я хочу рассматривать представлениями не являются, поэтому что такое "спин" еще надо уточнять.
Munin Вайнберга я внимательно не изучал, ориентируюсь плохо. Буду благодарен если подскажите более конкретную ссылку.

Munin в сообщении #601059 писал(а):

Вот это самое

Это и есть требование того, что поле является пространством представления. Если бы держался этого требования, то мне не надо было бы привлекать трансляции для того, чтобы увидеть свободы "в выборе функции $f(\omega)$ у меня нет. Уже рассмотрение вращений заставило бы меня выбрать спин поля, а значит и закон его преобразований относительно вращения. И никакого произвола не осталось бы. Мое наблюдение в том - что если мы заботимся только о лоренц-инвариантности лагранжиана (или уравнений) то это требование излишне ограничительно. Например для случая комплексного поля его можно ослабить таким образом $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)e^{if(L)}$

-- Пн июл 30, 2012 18:43:09 --
lek

lek в сообщении #601070 писал(а):

И тогда

$$ \Lambda'(L_2L_1)=\Lambda(L_2L_1)e^{if(\omega)}\ne\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)e^{2if(\omega)}=\Lambda'(L_2) \Lambda'(L_1). $$

Я правильно понял?

Да. Только функцию $f(\omega)$ вы удвоили неаккуратно в экспоненте. Правильно было бы напистаь $f(\omega_1)+f(\omega_2)$, где $\omega_{1,2}$ параметры соответственно первого и второго преобразований.
А "неравенство" которое вы получили как раз и отражает тот факт, что матрицы $\Lambda'(L)$ не образуют представление группы Лоренца.

[Munin]

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Munin Вайнберга я внимательно не изучал, ориентируюсь плохо. Буду благодарен если подскажите более конкретную ссылку.

Вроде, главы 2-4, я сам читал давно, и не ориентируюсь навскидку.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Это и есть требование того, что поле является пространством представления.

По сути, так и есть, только поле как целое, а не его значения в отдельных точках.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Например для случая комплексного поля его можно ослабить таким образом $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)e^{if(L)}$

...где $L$ - это... Ну же, договаривайте? :-)

[lek]

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Да. Только функцию $f(\omega)$ вы удвоили неаккуратно в экспоненте. Правильно было бы напистаь...

Понятно. Следовательно, вы рассматриваете представление вида

$$ SL(2,\mathbb{C})\to G,\qquad\Lambda(L)\to\Lambda(L)e^{if(\omega)}. $$

А вас не смущает, что так определенное представление будет неассоциативным? Множество операторов $G$ с таким умножением не будет группой.

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

С точностью до моих перобозначений

Ну, то, что вы написали не означает

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

физические поля должны образовывать представление группы Лоренца

То, что вы процитировали - просто своёство представления группы.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Когда мы (я, по крайней мере) говорим что какое-либо поле $f$ реализует представление группы Лоренца, я имею в виду что каждому элементу группы Лоренца $L$ соответствует линейный оператор в пространстве полей $f$, и это соответствие - гомоморфизм групп: $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)$

Да у вас мешанина в голове.
Представление группы это гомоморфизм этой группы в некоторую линейных преобразований линейного простарнства.
Без всяких там полей.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Ну вообще спин - это характеристика представления поля относительно группы вращений

Ну не восвем.
Скорее это характеристика того, как полевые координаты меняются при смене ориентации многообразия.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Это и есть требование того, что поле является пространством представления

Нету такой вещи как пространство представления.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Мое наблюдение в том - что если мы заботимся только о лоренц-инвариантности лагранжиана (или уравнений) то это требование излишне ограничительно

Это требование минимальное из всех, что мы можем наложить.

2.5 в сообщении #601083 писал(а):

Например для случая комплексного поля его можно ослабить таким образом $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)e^{if(L)}$

Пишите в общепринятых обозначаениях, или делайте пояснения. Понять ваши формулы не возмождно(по крайней мере мне).

[2.5]

Munin в сообщении #601100 писал(а):

...где $L$ - это... Ну же, договаривайте?

Пусть $\Lambda(L)$ - "правильные" преобразование, т.е. такие, которые образуют представление $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)$. Я предлагаю вместо них рассмотреть преобразования $\Lambda'(L)=\Lambda(L)e^{if(\omega)}$, где $\omega_{\mu\nu}$ параметры преобразования $L$. Для определенности пусть $f(\omega)=\phi/2$, где $\phi=\omega_{12}$ - угол поворота вокруг оси $z$. Тогда, для преобразований $\Lambda'(L)$ вообще говоря не будет справедливо "групповое свойство". Пусть, например, $L_1$ и $L_2$ - повороты на угол $\pi$ вокруг осей $x$ и $y$ соответственно. Тогда $\Lambda'(L_1)=\Lambda(L_1)$ и $\Lambda'(L_2)=\Lambda(L_2)$ (поскольку преобразование со штрихами и без отличаются только в том случае, когда в преобразовании есть нетривиальный поворот вокруг $z$). Но при этом $L_1L_2$ - это поворот на $\pi$ вокруг оси $z$, так что $\Lambda'(L_1L_2)=\Lambda(L_1L_2)e^{i\pi/2}=i\Lambda(L_1L_2)$. В итоге в этом случае $\Lambda'(L_1)\Lambda'(L_2)=i\Lambda'(L_1L_2)$

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601116 писал(а):

Пусть $\Lambda(L)$ - "правильные" преобразование

Что такое $L$, что такое $\Lambda$?

2.5 в сообщении #601116 писал(а):

предлагаю вместо них рассмотреть преобразования $\Lambda'(L)=\Lambda(L)e^{if(\omega)}$

Значит эти преобразования не правильные. И они не являются представление группы Лорнца.

[lek]

EvilPhysicist в сообщении #601118 писал(а):

Что такое $L$, что такое $\Lambda$?

Я так понимаю, что $L\in SO(1,3)$, а $\Lambda:SO(1,3)\to SL(2,\mathbb{C})$.

EvilPhysicist в сообщении #601118 писал(а):

Значит эти преобразования не правильные. И они не являются представление группы Лорнца.

Их "неправильность" в том, что они определяют неассоциативное представление группы Лоренца.

[2.5]

lek

lek в сообщении #601103 писал(а):

Понятно. Следовательно, вы рассматриваете представление вида

$$ sl(2,\mathbb{C})\to G,\qquad\Lambda(L)\to\Lambda(L)e^{if(\omega)}. $$

А вас не смущает, что так определенное представление будет неассоциативным? Множество операторов $G$ с таким умножением не будет группой.

Нет, поскольку я пока не знаю на то "физических" возражений меня это не смущает. Мы же обсуждаем можно ли рассматривать теорию таких объектов как теорию физических полей?
EvilPhysicist

Цитата:

Нету такой вещи как пространство представления.

Простите за грубость, но по-моему вы пока слишком заняты уличинием меня в невежестве, чтобы понять в чем собственно состоит мой вопрос.
А представление группы состоит из двух объектов - линейного пространства представления , и гомоморфизма группы в группу автоморфизмов этого линейного пространства.

EvilPhysicist в сообщении #601105 писал(а):

Это требование минимальное из всех, что мы можем наложить.

в общем-то пока все, что я пытаюсь сделать в этой теме - это объяснить почему мне кажется, что это не так.

Цитата:

Пишите в общепринятых обозначаениях, или делайте пояснения. Понять ваши формулы не возмождно(по крайней мере мне).

Все обозначение в первом посте же

Цитата:

пусть $L$-преобразование Лоренца, $\Lambda(L)$ - соответствующее преобразование поля

да, наверное приведенная формула не самая аккуратная. В ответе Muninу я привел более подробный пример.

-- Пн июл 30, 2012 19:48:30 --

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601118 писал(а):

Значит эти преобразования не правильные. И они не являются представление группы Лорнца.

Да, не являются. Но только вот в каком смысле они "неправильные"?
lek

lek в сообщении #601126 писал(а):

Их "неправильность" в том, что они определяют неассоциативное представление группы Лоренца.

А есть такой устоявшийся термин? Беглое гугление не дает результатов. Тут скорее дело не в том что $\Lambda'(L)$ образуют "неассоциативное" представление, а в том, что они образуют ассоциативное "непредставление". Ассоциативность как линейных операторов никуда не пропала.

[lek]

2.5 в сообщении #601128 писал(а):

А есть такой устоявшийся термин?

Нет, но он отражает суть дела.

2.5 в сообщении #601128 писал(а):

Ассоциативность как линейных операторов никуда не пропала.

Если делать все "по науке" то вашу "квазигруппу" $G$ (а она действительно будет квазигруппой) надо вложить в группу операторов, которою она порождает. Здесь интересно посмотреть какая группа получится (замечу, что последняя строится по $G$ однозначно).

[whiterussian]

Munin , ссылаясь на Вайнберга, вы имеете ввиду трехтомник?

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601128 писал(а):

Простите за грубость, но по-моему вы пока слишком заняты уличинием меня в невежестве, чтобы понять в чем собственно состоит мой вопрос.

Это трудно сделать, потому что я не могу понять, что вы говорите.

2.5 в сообщении #601128 писал(а):

А представление группы состоит из двух объектов - линейного пространства представления , и гомоморфизма группы в группу автоморфизмов этого линейного пространства.

Представление состои из двух вещей, но первое не обязательно линейное пространство, а всего лишь группа.

2.5 в сообщении #601128 писал(а):

в общем-то пока все, что я пытаюсь сделать в этой теме - это объяснить почему мне кажется, что это не так.

Вы ошибаетесь. Это требование следует из принципа относительности. Убрать его нельзя.

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

пусть $L$-преобразование Лоренца, $\Lambda(L)$ - соответствующее преобразование поля

$\Lambda(L)$ что за преобразования поля? Группа относиетльно которой инвариантны полевые координаты? Или её представление?

2.5 в сообщении #601128 писал(а):

Да, не являются. Но только вот в каком смысле они "неправильные"?

В смысле не правильные.

[2.5]

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601145 писал(а):

Представление состои из двух вещей, но первое не обязательно линейное пространство, а всего лишь группа.

Давайте еще раз, русскоязычная википедия:

Цитата:

Представление группы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

И, вообще говоря, важно что именно это за векторное пространство - например какая у него размерность и над каким оно полем (я, честно говоря, не знаю есть ли еще какие-нибудь характеристики у конечномерных линейных пространств).

Цитата:

Вы ошибаетесь. Это требование следует из принципа относительности.

Каким образом оно следует?
"полевые координаты" - это как раз и есть то линейно пространство, на котором реализовано представление группы лоренца. $\Lambda(L)$- матрицы этого представления.
И я не понимаю почему вы говорите что "полевые координаты" инвариантны - инвариантен Лагранжиан, а поля, вообще говоря, нетривиально преобразуются при переходе в другую систему отсчета.

EvilPhysicist в сообщении #601145 писал(а):

2.5 в сообщении #601128 писал(а):
Да, не являются. Но только вот в каком смысле они "неправильные"?

В смысле не правильные.

В каком, все-таки, смысле? Лагранжиан инвариантным оставляют. Какие у вас еще к ним требования?

-- Пн июл 30, 2012 20:43:48 --

lek в сообщении #601137 писал(а):

Если делать все "по науке" то вашу "квазигруппу" $G$ (а она действительно будет квазигруппой) надо вложить в группу операторов, которою она порождает. Здесь интересно посмотреть какая группа получится (замечу, что последняя строится по $G$ однозначно).

Что такое $G$ в терминах $\Lambda,\Lambda',L$? Я посмотрел определение квазигруппы, но никакой такой структуры тут не вижу. Также я не понимаю почему вы говорите о потере ассоциативности - что конкретно не ассоциативно?

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601145 писал(а):

Представление состои из двух вещей, но первое не обязательно линейное пространство, а всего лишь группа.

Давайте еще раз, русскоязычная википедия:

Цитата:

Представление группы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Как я и говорил, представление должно быть группой, не обязательно линейным пространством.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

И, вообще говоря, важно что именно это за векторное пространство - например какая у него размерность и над каким оно полем (я, честно говоря, не знаю есть ли еще какие-нибудь характеристики у конечномерных линейных пространств).

Да, размерность линейного пространства, в группу линейных преобразований которого, осуществляется гомоморфизм исходной группы называется размерностью представления. То, над каким полем это линейное пространство, определяет из каких элементов состоят матрицы линейных операторов группы симметрии данного линейного пространства.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

Каким образом оно следует?

Принцип относительности - ИСО не различимы.
Если действие не инвариантно по преобразованиям Лоренца, то уравнения движения меняют вид при переходе от одной ИСО к другой, чего быть не может.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

"полевые координаты" - это как раз и есть то линейно пространство, на котором реализовано представление группы лоренца

Полевые координаты это отображение пространства Минковского в тензорное или спинорное расслоение. Это если говорить точно.
Если проще, то это совокупность функций, определнных на всём пространстве Минковского и преобразующихся по определенному закону при преобразованиях Лоренца.
Полевые координаты это не линейное пространство.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

И я не понимаю почему вы говорите что "полевые координаты" инвариантны - инвариантен Лагранжиан

Да, это я говорил не правильно.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

а поля, вообще говоря, нетривиально преобразуются при переходе в другую систему отсчета.

Поля - физическая сущность. Как они преобразуются - к философам.
Физики описывают поля полевыми координатами. Полевые координаты могут не меняться при смене системы отсчёта. Например если это скалярное поле.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

В каком, все-таки, смысле?

В смысле, что они не правильные. То есть, есть множество правлиьных преобразований, которое образует представление группу Лоренца; так ваши преобразования не в этом множестве.

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

Лагранжиан инвариантным оставляют. Какие у вас еще к ним требования?

Какой конкретно лагранжиан они оставляют инвариантным?

[Munin]

whiterussian
Да. Вайнберг С. Квантовая теория поля. В 2 тт. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. По крайней мере, этим изданием я пользуюсь, когда в 3 том не заглядываю.