Задачи....

[neo66]

Trius писал(а):

Опять...

Это еще почему?

[Trius]

упс.. что-то я обсчитался(

[bobo]

Trius писал(а):

оно не будет четным при любом $n$

я опять ошибся
при нечетных n это число нечетное,при четных - четное

[bobo]

Рассотрим последовательность $$a_n = \left( \frac {3+\sqrt{17}} 2 \right)^n + \left( \frac {3-\sqrt{17}} 2 \right)^n$$
тогда $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n$
Т.к. a(0)=2, a(1)=3, то все остальные члены посл-ти нечетные. При четных n выражение

$$\left[ \left( \frac {3+\sqrt{17}} 2 \right)^n \right]$$

равно a(n)-1, a при нечетных- просто a(n)
ну наконец-то кое-как получилось напечатать

[RIP]

Trius писал(а):

11) Последовательность $\{a_n,n\ge 1$ задается условиями $a_1=1,a_2=12,a_3=20,a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n$. Доказать, что число $1+4a_n\cdot a_{n+1}$ -квадрат целого числа.

По индукции легко доказать, что

$$1+4a_na_{n+1}=(a_{n+1}+a_n-a_{n-1})^2$$

Trius писал(а):

2) Существует ли для каждого целого $n$ такое действительное $x$, что $n=[\sin x +\cos x +\tg x + \ctg x]$?

Если $\sin x$ и $\cos x$ одного знака, то $\sin x +\cos x +\tg x + \ctg x\geqslant2-\sqrt2$. В противном случае $\sin x +\cos x +\tg x + \ctg x<1-2=-1$, поэтому для $n=-1$ такого $x$ не найдётся.

[RIP]

Trius писал(а):

7) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, такая, что каждое число встречается в ней один раз и сумма первых $n$ членов делится на $n$?

Пусть $a_1,\ldots,a_{n-1}$ выбраны. Пусть $m~-$ наим. натуральное число, которое не встречается среди $a_1,\ldots,a_{n-1}$. Выберем такое $a_n\in\mathbb{N}\setminus\{a_1,\ldots,a_{n-1},m\}$, что $a_1+\ldots+a_n\equiv0\pmod n$ и $a_1+\ldots+a_n+m\equiv0\pmod{n+1}$. Ложим $a_{n+1}=m$...

[bobo]

Trius писал(а):

4) Обозначим $P(n)$ - произведение всех цифр натурального числа $n$. Найти суму $P(1)+P(2)+...+P(2005)$

У меня получилось $184320$

[Юстас]

Trius писал(а):

4) Обозначим $P(n)$ - произведение всех цифр натурального числа $n$. Найти суму $P(1)+P(2)+...+P(2005)$

Это всё равно $(1+\dots+9)+1(1+\dots+9)+\dots+9(1+\dots+9))+2\left(1(1(1+\dots+9)+\dots+9(1+\dots+9))+\dots+9(1(1+\dots+9)+\dots+9(1+\dots+9))))\right)=$
$=S_0+S_0^2+2S_0^3$, где $S_0=1+\dots+9=45$.

[bobo]

Юстас писал(а):

Это всё равно $(1+\dots+9)+1(1+\dots+9)+\dots+9(1+\dots+9))+2\left(1(1(1+\dots+9)+\dots+9(1+\dots+9))+\dots+9(1(1+\dots+9)+\dots+9(1+\dots+9))))\right)=$
$=S_0+S_0^2+2S_0^3$, где $S_0=1+\dots+9=45$.

Точно так же делал Иначе, наверно, никак...

[Genrih]

bobo писал(а):

У меня получилось $184320$

или все-равно, что
$(1+...+9)+ (1+...+9)^2 + 2(1+...+9)^3 $
последнее два раза, беря первую тысячу

Опа, опередили

[Юстас]

Trius писал(а):

1) Пусть $M$- такое подмножество множества $\{1,2,...,15\}$, что произведение любых трех различных чисел из $M$ не является точным квадратом. Найти наибольшее возможное количество чисел в множестве $M$.

Несложно догадаться, что достаточно выкинуть(например) $(1,2,3,5,7)$ - один точный квадрат и маленькие простые. А короткого доказательства без разбора вариантов, что из 11 чисел всегда можно выбрать тройку так, чтобы нарушилось условие, я не вижу.
Upd. На самом деле вариантов немного и разбор короткий.

[Trius]

Найти все функции $f:\mathbb Q \to \mathbb R$, для которых исполняются условия: a) $f(1)+1>0$ б) $f(x+y)-xf(y)-yf(x)=f(x)f(y)-x-y+xy$ в) $f(x)=2f(x+1)+x+2$

С числом разрешается проводить следующие операции :1) вознести в произвольную натуральную степень 2) отрезать 2 последние цифры, умножить образованое ими число на 3, и прибавить к числу, образованому остальными числами. Возможно ли с помощью таких операций получить из 2005 число 2006?

Доказать, что в десятичной записи дроби $\frac{1}{3^{100}}$ обязательно встретится последовательность цифр 20002001200220032004200520062007200820092010

решить в натуральных числах $x,y,z$ уравнение $2^x+3^y=z^2$

[bobo]

Позволь поинтересоваться, Trius, у тебя есть решения этих всех задач?

[Trius]

нет

[bobo]

Thx