Задачи....

[Trius]

1) Пусть $M$- такое подмножество множества $\{1,2,...,15\}$, что произведение любых трех различных чисел из $M$ не является точным квадратом. Найти наибольшее возможное количество чисел в множестве $M$.
2) Существует ли для каждого целого $n$ такое действительное $x$, что $n=[\sin x +\cos x +\tg x + \ctg x]$?
3) Пусть $a,b,c>0$ и $ab+bc+ac=1$. Доказать, что $\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\le \frac{1}{abc}$.
4) Обозначим $P(n)$ - произведение всех цифр натурального числа $n$. Найти суму $P(1)+P(2)+...+P(2005)$
5)Пусть $a,b,c$ - стороны треугольника, периметр которого не превышает $2\pi$. Доказать, что $\sin a,\sin b,\sin c$ также являются сторонами некоторого треугольника.
6) Найти все функции $f:\mathbb R \to \mathbb R$, которые для любых $x,y$ удоволетворяют условию $f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$
7) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, такая, что каждое число встречается в ней один раз и сума первых $n$ членов делится на $n$?
8) При каких натуральных $n$ число $\left[\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^n\right]$ четное?
9) Существуют ли 2 таких многочлена $P(x)$ и $Q(x)$ с целыми коефициентами такие, что множеством значений функции $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ есть отрезок $[\sqrt{2};+\infty)$?
10) Доказать, что для произвольных положительных чисел $a_1,a_2,..., a_n$ исполняется неравенство $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_1+a_2}+..+\frac{n}{a_1+a_2+...+a_n}<4(\left\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...\frac{1}{a_n}\right)$

Добавлено спустя 24 минуты 10 секунд:

11) Последовательность $\{a_n,n\ge 1$ задается условиями $a_1=1,a_2=12,a_3=20,a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n$. Доказать, что число $1+4a_n\cdot a_{n+1}$ -квадрат целого числа.

[photon]

пожалуйста, если это олимпиадные задачи, то указывайте на какой олимпиаде они были предложены

[Trius]

задачи с прошлогодних киевских матбоев

[bobo]

http://slil.ru/24168632
это по поводу 8-й задачи, заранее Sorry plz

[Trius]

файл не найден

[bobo]

поправил, пробуй

[Trius]

с той скоростью качать не хочу, пиши сюда

[bobo]

Если с исходного выражния убрать целую часть и прибавить к нему сопряженное и обозночаить это хозяйство через A(n) ,то A(n+2)=3*A(n+1)+2*A(n). Так как A(0)=2, A(1)=3, то все A(n), n>=1, нечётные. Очевидно,что исходное выражение равнятся A(n)+1. Получается, при всех натуральных n эти числа четные.

[Trius]

Цитата:

Очевидно,что исходное выражение равнятся A(n)+1

какое исходное выражение??

[neo66]

Trius писал(а):

9) Существуют ли 2 таких многочлена и с целыми коефициентами такие, что множеством значений функции есть отрезок ?

Например $\frac{2x^4+1}{x^2}$.

[Trius]

neo66
опять не подходит..

[bobo]

Trius писал(а):

Цитата:

Очевидно,что исходное выражение равнятся A(n)+1

какое исходное выражение??

Исходное выражение имеется ввиду это:[((3+(17)^(0.5))^(n)].
Там поправочка: A(n)+-1.

[Trius]

оно не будет четным при любом $n$

[neo66]

Trius писал(а):

neo66
опять не подходит..

Тогда $\frac{x^4+2}{2x^2}$.

[Trius]

Опять...