Задачи....

[arqady]

Trius писал(а):

3) Пусть $a,b,c>0$ и $ab+bc+ac=1$. Доказать, что $\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\le \frac{1}{abc}$.

Поскольку $f(x)=\sqrt[3]x$ вогнута на $[0,+\infty),$ получаем:
$\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq\sqrt[3]{9\cdot\sum_{cyc}\left(\frac{1}{a}+6a\right)}=\sqrt[3]{9\left(\frac{1}{abc}+6(a+b+c)\right)}\leq$
$\leq\sqrt[3]{9\left(\frac{1}{abc}+\frac{6}{3abc}\right)}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}.$
То-бишь осталось доказать, что $\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\leq\frac{1}{abc},$ что очевидно.