Определение конуса

[Побережный Александр]

Кстати, круговым конусом есть смысл называть тело, коническая поверхность которого отсекает на единичной сфере окружность.

[gris]

И тут Вы правы.
Только это будет верно лишь для бесконечных конусов. Иначе мы можем за пределами единичной окружности ограничить коническую поверхность каким-нибудь волнообразным основанием. Окружности любого радиуса не спасают.
А ведь Ваше определение должно по крайней мере включать в себя традиционное.
Правда опять же будет морока с "вывернутыми " конусами.

[Алексей К.]

А что вы оба так за единичную сферу уцепились? Пусть будет любая. И двоичная. Или совсем маленькая. Типа $\varepsilon$-.

[gris]

А какая разница? Ведь бесконечный конус переходит в себя при положительной гомотетии с центром в вершине.
Но я до сих пор никак не могу уловить какой-либо содержательности в развиваемой теории. Что нового она даёт? Какие теоремы, неведомые досель, можно из неё вывести?

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #599060 писал(а):

Если это конкретная задача (разумного автора) с эллипсом в основании конуса, то он не будет употреблять слова "прямой эллиптический", а конкретно напишет, куда попадает перпендикуляр --- в центр ли эллипса, в фокус ли, или в произвольную точку,

Ну, я думаю ни у кого не повернётся язык назвать конус прямым, если перепендикуляр вершины падает в один из фокусов эллипса. А поскольку употребляют выражение - прямой круговой конус, а как мы знаем, окружность - частный случай эллипса, то выражение прямой эллиптический конус - имеет право на существование, на мой взгляд.

Алексей К. в сообщении #599060 писал(а):

Вот, заметил, что Shtorm старательно пишет везде вместо "эллипс" что-то вроде "фигура, ограниченная эллипсом". К точности стремится. Да, за путаницу "круг" vs "окружность" часто попрекают, но все спокойно говорят о площади эллипса.

Да, я тоже раньше спокойно говорил, "площадь эллипса", а потом задумался - а ведь эллипс и фигура ограниченная эллипсом - это же разные геометрические объекты и множества разные.

Алексей К. в сообщении #599060 писал(а):

А вот за это ---

Shtorm в сообщении #598627 писал(а):

Прямой эллиптический конус - вообще наклонять не надо, а просто подобрать угол наклона секущих плоскостей так, чтобы в них появились круги.

надо постучать. Направление нормали подбирать надо, а это не какой-то один угол.

Конечно, мне многому ещё у Вас учиться. Так я, как рассуждал: имеется плоскость, параллельная условно плоскости стола, на котором и стоит эллиптический прямой конус. Эта плоскость рассекает конус, ну скажем на середине его высоты. В сечении получаем фигуру, ограниченную эллипсом. Теперь, если будем поворачивать плоскость сечения так, чтобы образовывался острый угол между малой осью эллипса и повернутой плоскостью - то постепенно приближаемся в сечении к кругу. При этом остальные углы плоскости - не меняем. Я не прав?

Алексей К. в сообщении #599060 писал(а):

У кого-то случилось скучное лето.

А это уже к вопросу о субъективном восприятии объективной реальности.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #599195 писал(а):

Теперь, если будем поворачивать плоскость сечения так, чтобы образовывался острый угол между малой осью эллипса и повернутой плоскостью - то постепенно приближаемся в сечении к кругу. При этом остальные углы плоскости - не меняем. Я не прав?

Сейчас пришло в голову - тут наверное важно тогда указывать, относительно какой точки (прямой) происходит поворот этой плоскости? Но тогда, если изначально плоскость проходила через середину высоты конуса - то поворот, относительно этой середины.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #599195 писал(а):

Эта плоскость рассекает конус, ну скажем на середине его высоты.

Какая разница --- где? Там царит гомотетия.

Shtorm в сообщении #599195 писал(а):

, чтобы образовывался острый угол между малой осью эллипса

Вот это уточнение у Вас только сейчас появилось. Вы поворачиваете вокруг большой оси, образуется угол с малой осью, и тогда угла достаточно для описания секущей плоскости. И круг получится. А при повороте вокруг малой оси не особо получается. Там думать надо, параметры формы привлекать. Ну и другие оси бывают. Либо указывать ось поворота и угол, либо нормаль к плоскости.

И конус вовсе не обязан быть "прямым". У "непрямого" можно выбрать другое основание (перпендикулярное плоскостям симметрии), и он сразу станет "прямым". Очевидно, что выбор основания для этих игрушек... иррелевантен (так, кажется, сейчас модно на форуме говорить),

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #599294 писал(а):

Вы поворачиваете вокруг большой оси, образуется угол с малой осью,...

Очередной раз снимаю шляпу перед Вашим профессионализмом и строгой математической точностью.

Алексей К. в сообщении #599294 писал(а):

А при повороте вокруг малой оси не особо получается. Там думать надо, параметры формы привлекать.

Насколько я понимаю, если будем поворачивать вокруг малой оси - то в сечении будет получаться всё более вытягивающийся эллипс (с бОльшим эксцентриситетом). Если коническая поверхность (прямой эллиптический конус) будет бесконечной или хотя бы достаточной длины, то при дальнейшем повороте получим в сечении два отрезка, соединяющихся в вершине конуса или пару пересекающихся прямых, в случае конической поверхности. Это когда плоскость сечения будет проходить через вершину конуса.

-- Чт июл 26, 2012 01:07:51 --

Алексей К. в сообщении #599077 писал(а):

Shtorm в сообщении #598459 писал(а):

Ну первое, что приходит в голову - это берём обычный круглый прямой конус и наклоняем его. В результате -в основании получается уже не круг

Я вот сейчас только разливал малиновый сок по пластиковым бутылочкам, и воронкой конической пользовался. И как я её ни наклонял, и даже стучал ею по другим поверхностям (когда ягодка проскакивала и загораживала путь для сока) --- никто не деформировался, и круг в эллипс не превратился. Наверное, слова "наклонять", "наклонный" не самые удачные

Надо было мне дописать, что после наклона - продолжим коническую поверхность вплоть до пересечения с плоскостью стола.

-- Чт июл 26, 2012 01:13:13 --

P.S. А никто не встречал - как же называется фигура, ограниченная эллипсом - одним словом? Типа как круг для окружности, так и .......................... для эллипса????

[gris]

В геометрии на самом деле очень мало фигур, чья внутренность и граница называются разными словами. Круг и окружность. Шар и сфера. А что ещё? Квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, эллипс — означают и то, и другое одним словом.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #599425 писал(а):

Если коническая поверхность ... будет бесконечной или хотя бы достаточной длины,

Любой ненулевой длины достаточно. Даже 0.000000001. Точку на оси возьмёте поближе к вершине. Не хватит --- ещё в 100 раз ближе. И всё. Там царит гомотетия.

[svv]

gris в сообщении #599446 писал(а):

В геометрии на самом деле очень мало фигур, чья внутренность и граница называются разными словами. Круг и окружность. Шар и сфера. А что ещё? Квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, эллипс — означают и то, и другое одним словом.

А ещё — внутренность и граница. Это тоже фигуры, только очень общие. Но треугольники тоже ведь разные бывают.
Весьма актуальны в таких темах, как теорема Стокса.
gris, зачёт?

[gris]

Треугольник существует сам по себе, а граница или внутренность предполагают наличие некоторой фигуры. Любое множество точек в евклидовом пространстве либо является треугольником, либо нет.

Но возьмите плоскость. С одной стороны, она внутренность самой себя, с другой граница соответствующего полупространства. Нет, никак не могу с Вами согласиться, хотя для меня это просто молотком по пальцам. Придумайте что-нибудь ещё.

[svv]

Не переживайте, я нашёл выход: я соглашусь с Вами.

[Shtorm]

Yu_K в сообщении #598971 писал(а):

(Оффтоп)

Конус конечно фигура интересная - но для "тренировки храбрости" вот такие объемы повычисляйте - вроде тоже "конус такой хитрый" -

А здесь уже не будет - одна треть основания на высоту?

-- Чт июл 26, 2012 19:54:21 --

gris в сообщении #599446 писал(а):

В геометрии на самом деле очень мало фигур, чья внутренность и граница называются разными словами. Круг и окружность. Шар и сфера. А что ещё? Квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, эллипс — означают и то, и другое одним словом.

Плохо это и нелогично. Получается, что необходимо использовать фразы типа: фигура, ограниченная эллипсом. Или использовать такое построение фразы: Дан эллипс

$$ \frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}\leqslant 1$$

А в другой задаче: Дан эллипс и уже равенство вместо неравенства.

Это неудобно и идёт ненужная трата времени (чернил/мела).
Я считаю, давно пора изобрести названия для всех сплошных фигур, полученных из тех - кторые не включают внутренние точки.

[Munin]

gris в сообщении #599446 писал(а):

В геометрии на самом деле очень мало фигур, чья внутренность и граница называются разными словами. Круг и окружность. Шар и сфера. А что ещё?

Тор и полноторие :-)
А вот спорим, вы не приведёте пример такой фигуры, которая и сама имела бы границу, и была бы границей чего-то ещё?

-- 26.07.2012 21:12:29 --

gris в сообщении #599559 писал(а):

Треугольник существует сам по себе

Ага, треугольник есть множество из трёх элементов $\{a,b,c\}.$