Достаточные условия существования локального экстремума

[Ktina]

apriv в сообщении #598180 писал(а):

Ktina в сообщении #598126 писал(а):

Я решила добавить третье условие, после чего статья стала выглядеть вот так.

Третье условие неверно; а именно, запись $f'(x_0)=f''(x_0)=\dots=f^{n-1}(x_0)=0$ не имеет смысла. Невозможно понять, как от производной делается переход к $(n-1)$-ой итерации функции $f$.

Разумеется, речь идёт не об итерации, а о производной, просто я скобки забыла, потому что я - старая алкашка молодая душой чудачка.

-- 23.07.2012, 15:20 --

worm2 в сообщении #598189 писал(а):

apriv в сообщении #598180 писал(а):

Третье условие неверно...

Поправил.

Спасибо!

[Shtorm]

apriv в сообщении #598210 писал(а):

В Вашем примере обе односторонние производные в точке $x_0=0$ равны нулю.

Левосторонняя производная меньше нуля, а правосторонняя производная больше нуля. Давайте подставим в формулу через предел и вычислим.

[apriv]

Shtorm в сообщении #598215 писал(а):

Левосторонняя производная меньше нуля, а правосторонняя производная больше нуля. Давайте подставим в формулу через предел и вычислим.

Что? Функция $x^2$ дифференцируема в точке 0 и ее производная в ней равна 0, хоть левосторонняя, хоть правосторонная, хоть какая.

[Shtorm]

apriv в сообщении #598217 писал(а):

....ее производная в ней равна 0, хоть левосторонняя, хоть правосторонная, хоть какая.

Левосторонняя равна нулю, правосторонняя равна нулю - тогда вышеприведённое достаточное условие нарушается, потому что там чётко должно быть больше и меньше. Достаточное условие должно быть универсальным.

[apriv]

Shtorm в сообщении #598227 писал(а):

Левосторонняя равна нулю, правосторонняя равна нулю - тогда вышеприведённое достаточное условие нарушается, потому что там чётко должно быть больше и меньше. Достаточное условие должно быть универсальным.

Что значит «универсальным»? Еще раз, условие формулируется так: «если трам-пам-пам, то $x_0$ — точка локального экстремума». Вы приводите пример, где трам-пам-пам не выполняется. И что? Это же достаточное условие, а не необходимое.

[Shtorm]

apriv в сообщении #598228 писал(а):

Что значит «универсальным»?

Универсальным - это значит должно описывать всё многообразие случаев.

apriv в сообщении #598228 писал(а):

Еще раз, условие формулируется так: «если трам-пам-пам, то $x_0$ — точка локального экстремума».

А где ниже написано: "А вот если, "тру-ля-ля" - то $x_0$ — тоже точка локального экстремума". Этого нет. Поэтому я и говорю - не годится.

Какое достаточное условие Вы примените к моему примеру?

[apriv]

Shtorm в сообщении #598235 писал(а):

apriv в сообщении #598228 писал(а):

Что значит «универсальным»?

Универсальным - это значит должно описывать всё многообразие случаев.

Вовсе не должно. Есле оно описывает «все многообразие случаев», то это равносильное условие, то есть, одновременно необходимое и достаточное. Было бы странным надеяться на разумное равносильное условие для этой задачи.

Цитата:

apriv в сообщении #598228 писал(а):

Еще раз, условие формулируется так: «если трам-пам-пам, то $x_0$ — точка локального экстремума».

А где ниже написано: "А вот если, "тру-ля-ля" - то $x_0$ — тоже точка локального экстремума". Этого нет. Поэтому я и говорю - не годится.

Что? Ну да, там два условия сразу — одно для минимума, другое для максимума. Хорошо, там написано, что если трам-пам-пам, то $x_0$ — локальный максимум, а еще, что если тру-ля-ля, то $x_0$ — локальный минимум. Ваш пример ни одного из этих двух утверждений не опровергает, поскольку для него ни трам-пам-пам, ни тру-ля-ля не выполняются.

Цитата:

Какое достаточное условие Вы примените к моему примеру?

А зачем? На свете много функций, к которым неприменимо ни одно из упоминавшихся здесь достаточных условий, однако, у них есть точка (локального, если хотите) экстремума. На то они и достаточные условия.

[Shtorm]

apriv в сообщении #598238 писал(а):

А зачем? На свете много функций, к которым неприменимо ни одно из упоминавшихся здесь достаточных условий, однако, у них есть точка (локального, если хотите) экстремума. На то они и достаточные условия.

$y=x^2$ - одна из самых элементарнейших известнейших функций, которую проходят ещё в школе! И таких функций - огромное число! Так для кого - как не для них должно действовать достаточное условие??

[apriv]

Shtorm в сообщении #598242 писал(а):

apriv в сообщении #598238 писал(а):

А зачем? На свете много функций, к которым неприменимо ни одно из упоминавшихся здесь достаточных условий, однако, у них есть точка (локального, если хотите) экстремума. На то они и достаточные условия.

$y=x^2$ - одна из самых элементарнейших известнейших функций, которую проходят ещё в школе! И таких функций - огромное число! Так для кого - как не для них должно действовать достаточное условие??

К ним можно применить второе достаточное условие из упомянутой статьи в википедии. Но Вы-то предъявляли претензии не к нему, а к первому условию. Первое, кстати, с успехом применимо к функции $|x|$.

-- 23.07.2012, 17:29 --

Shtorm в сообщении #598242 писал(а):

$y=x^2$ - одна из самых элементарнейших известнейших функций, которую проходят ещё в школе! И таких функций - огромное число! Так для кого - как не для них должно действовать достаточное условие??

Ну и, кстати, достаточное условие никому ничего не должно, кроме как быть верным. Вообще, слова «$A$ — достаточное условие для $B$» означают только лишь, что из $A$ следует $B$, ничего больше.

[Shtorm]

apriv в сообщении #598244 писал(а):

К ним можно применить второе достаточное условие из упомянутой статьи в википедии.

Которое кстати, на днях только что дописала Ktina, а если бы не она?

И зачем спрашивается мучаться с этими односторонними производными, когда есть прекрасное достаточное условие через знаки производной (обычной) на интервалах.

[apriv]

Shtorm в сообщении #598247 писал(а):

Которое кстати, на днях только что дописала Ktina, а если бы не она?

Нет, это условие там уже несколько лет висит. А если бы не она — это условие можно найти в любой книжке по математическому анализу для начинающих, в которой делается упор на функции одной вещественного переменной. В общем, как я понял, у Вас больше нет претензий к первому достаточному условию, которое про односторонние производные.

[Shtorm]

apriv, а можно такую книжку назвать или ссылочку кинуть? (а претензии у меня всё равно остались)

[apriv]

Shtorm в сообщении #598253 писал(а):

apriv, а можно такую книжку назвать или ссылочку кинуть? (а претензии у меня всё равно остались)

Я уверен, что это есть у Фихтенгольца, но я в него давно не заглядывал и не собираюсь. Где-нибудь в первом томе.

[Shtorm]

apriv, да, сейчас посмотрел в Фихтенгольце - есть там, то что добавила Ktina.
НО! Опять таки - то достаточное условие о котором мы с Вами спорили - изложено с помощью обычных производных на интервале. А про односторонние упоминается, что они должны быть равны - тогда существует конечная производная в самой точке $x_0$.

[apriv]

Shtorm в сообщении #598262 писал(а):

apriv, да, сейчас посмотрел в Фихтенгольце - есть там, то что добавила Ktina.
НО! Опять таки - то достаточное условие о котором мы с Вами спорили - изложено с помощью обычных производных на интервале. А про односторонние упоминается, что они должны быть равны - тогда существует конечная производная в самой точке $x_0$.

И что? Достаточное условие, о котором мы говорили, остается верным независимо от того, что написано про односторонние производные у Фихтенгольца.