Рекуррентная формула для синуса

[SibViking]

Здравствуйте! Интересная тема затронута. Представленная рекуррентная формула

$y_n=2\cos(\alpha n)y_{n-1}-y_{n-2}$

ориентирована на общий случай

$y=A\cos(\alpha n)+B\sin(\alpha n)$

А кто нибудь из исследователей не задавался целью вывести рекуррентную формулу на более общий случай? Например, на сумму двух и более гармонических функций. То есть исходная функция имеет вид

$y=\sum\limits_{i=0}^{I}(A_i\cos(\alpha_i n)+B_i\sin(\alpha_i n)), &\alpha_0\#...\#\alpha_i\#...\#\alpha_I$

Тогда какая будет рекуррентная формула? Если кто знает подскажите в каком направлении рыть (книги, статьи), пока что ничего не нашел по поводу этого вопроса. :(

[profrotter]

SibViking в сообщении #595229 писал(а):

Представленная рекуррентная формула

$y_n=2\cos(\alpha n)y_{n-1}-y_{n-2}$

Представлена не такая формула.

[SibViking]

profrotter в сообщении #595318 писал(а):

SibViking в сообщении #595229 писал(а):

Представленная рекуррентная формула

$y_n=2\cos(\alpha n)y_{n-1}-y_{n-2}$

Представлена не такая формула.

Извеняюсь, ошибся немного:

$y_n=2\cos(\alpha)y_{n-1}-y_{n-2}$

Но хотелось бы услышать ответ по сути вопроса.

[profrotter]

SibViking в сообщении #595377 писал(а):

Извеняюсь, ошибся немного:

Трудно сказать много или мало: Вы вместо линейной рекуррентной формулы с постоянными коэффициентами записали линейную параметрическую.

SibViking в сообщении #595229 писал(а):

А кто нибудь из исследователей не задавался целью вывести рекуррентную формулу на более общий случай?

Возможно я задавался в сообщении #486424.

Если я Вас правильно понял, Вы хотите получить рекуррентную формулу для периодической функции, представленной в виде усечённого ряда Фурье. Я рассмотрю случай, когда периодическая функция разложена в ряд Фурье по синусам:

$$f(t)=\sum\limits_{i=1}^{N}B_i\sin(\omega_it),t\geq0$$

1. Осуществляем дискретизацию $f(t)$ и получаем последовательность

$$y_n=f(nT)=\sum\limits_{i=1}^{N}B_i\sin(\omega_inT);$$

2. Находим Z - преобразование полученной последовательности и приводим к виду (5) (фактически к общему знаменателю, выделяя в числителе и знаменателе многочлены по степеням $z^{-1}$)

$$Y(z)=\sum\limits_{i=1}^{N}B_i\frac{\sin(\omega_iT)z^{-1}}{1-2\cos(\omega_iT)z^{-1}+z^{-2}}=...;$$

3. Находим коэффициенты $\{a_n\}$ и $\{b_m\}$;
4. Подставляем коэффициенты либо в (1) с последовательностью (2), либо в (4) с начальными условиями (3).

[SibViking]

profrotter спасибо! Понял ваш метод, давненько я изучал z-преобразование, пришлось немного учебники полистать. Но все таки к слову сказать нахождение рекуррентной формулы через z-преобразование достаточно трудоемкое занятие. Вывод формулы при $N = 2$ занял у меня около 20 минут. Боюсь подумать сколько времени надо для вывода при $N = 4$ . Мне кажется должно существовать более элегантное решение данной проблемы. Мне больше понравился метод через решение однородного разностного уравнения второго порядка. Откуда только истоки данного уравнения?

[profrotter]

SibViking в сообщении #595535 писал(а):

Но все таки к слову сказать нахождение рекуррентной формулы через z-преобразование достаточно трудоемкое занятие.

Если использовать формулу (4) с начальными условиями (3), то становится виден интересный результат: все периодические решетчатые функции, представимые усечённым рядом Фурье с одинаковым количеством степеней свободы $N$, могут быть заданы одной и той же рекуррентной формулой. Для получения её коэффициентов нужен только знаменатель в общем выражении для Z - преобразования, который получается произведением многочленов относительно $z^{-1}$. Можно рассмотреть их корни (навскидку) $z_i=e^{\pm i\omega_iT}$ и коэффициенты получить с учётом обобщённой теоремы Виета. Но, к сожалению, для определения начальных условий для каждой из функций понадобится и числитель. С ним, должно быть, громоздко.

SibViking в сообщении #595535 писал(а):

Мне больше понравился метод через решение однородного разностного уравнения второго порядка. Откуда только истоки данного уравнения?

Если Вы о сообщении #483137, то там нет никакого метода. Просто так уж случилось, что общее решение линейного однородного разностного уравнения второго порядка (при комплексно-сопряжённых корнях характеристического уравнения) представляет собою линейную комбинацию двух дискретных гармонических функций. А это общее решение всегда входит в общее решение соответствующего неоднородного уравнения. (Аналогично дифференциальному уравнению второго порядка.)

[arseniiv]

(2 SibViking.)

Думаете, символа для «не равно» не ввели в движок формул, которым пользуются во всём мире? Не $\#$, $\ne$.

[SibViking]

(2 arseniiv.)

Ох уж эти математики ... Лишь бы попридираться. Думаю, что сообщение после пяти минут знакомства с TeX получилось неплохим. Если бы мне на глаза попался символ $\ne$, то я бы непременно им воспользовался. Теперь буду знать, спасибо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Так это ж и было для совета, как его набрать (код-то высвечивается, если навести на формулу указатель).

[SibViking]

Как оказалось, алгоритмически указанная выше задача решается достаточно просто. Для эксперимента написал простенькую программу получения рекуррентных соотношений для ряда, образованного функцией вида:

$$y=\sum\limits_{i=1}^{I}(A_i\cos(in+\varphi_i)+B_i\sin(in+\psi_i)), n=\lbrace1, 2, 3, ...\rbrace (1)$

Результат вывода программы при различных $I$:

$I=1: y_n=1.0806y_{n-1}-1y_{n-2};$

$I=2: y_n=0.248311y_{n-1}-1.10062y_{n-2}+0.248311y_{n-3}-1y_{n-4};$

$I=3: y_n=-1.73167y_{n-1}-1.60897y_{n-2}-1.68259y_{n-3}-1.60897y_{n-4}-1.73167y_{n-5}-1y_{n-6};$

$I=4: y_n=-3.03896y_{n-1}-4.87276y_{n-2}-5.51765y_{n-3}-5.41756y_{n-4}-5.51765y_{n-5}-4.87276y_{n-6}-3.03896y_{n-7}-1y_{n-8};$

$I=5: y_n=-2.47164y_{n-1}-4.14869y_{n-2}-5.79217y_{n-3}-7.16003y_{n-4}-7.96178y_{n-5}-7.16003y_{n-6}-5.79217y_{n-7}-4.14869y_{n-8}-2.47164y_{n-9}-1y_{n-10};$

$I=6: y_n=-0.551296y_{n-1}-0.402302y_{n-2}-0.296916y_{n-3}-0.185778y_{n-4}-0.00424912y_{n-5}-0.969261y_{n-6}-0.00424912y_{n-7}-0.185778y_{n-8}-0.296916y_{n-9}-0.402302y_{n-10}-0.551296y_{n-11}-1y_{n-12};$

$I=7: y_n=0.956508y_{n-1}-0.571054y_{n-2}-0.24162y_{n-3}-0.140389y_{n-4}-0.0210475y_{n-5}-0.78989y_{n-6}-1.46995y_{n-7}-0.78989y_{n-8}-0.0210475y_{n-9}-0.140389y_{n-10}-0.24162y_{n-11}-0.571054y_{n-12}+0.956508y_{n-13}-1y_{n-14};$

$I=8: y_n=0.665508y_{n-1}-1.29271y_{n-2}+0.548711y_{n-3}-0.781755y_{n-4}-0.303521y_{n-5}-0.643376y_{n-6}-1.26114y_{n-7}-1.15202y_{n-8}-1.26114y_{n-9}-0.643376y_{n-10}-0.303521y_{n-11}-0.781755y_{n-12}+0.548711y_{n-13}-1.29271y_{n-14}+0.665508y_{n-15}-1y_{n-16};$

$I=9: y_n=-1.15675y_{n-1}-1.07998y_{n-2}-1.14144y_{n-3}-1.07457y_{n-4}-1.17937y_{n-5}-0.691473y_{n-6}-0.392266y_{n-7}-0.502735y_{n-8}-0.423003y_{n-9}-0.502735y_{n-10}-0.392266y_{n-11}-0.691473y_{n-12}-1.17937y_{n-13}-1.07457y_{n-14}-1.14144y_{n-15}-1.07998y_{n-16}-1.15675y_{n-17}-1y_{n-18};$

$I=10: y_n=-2.8349y_{n-1}-4.02118y_{n-2}-4.11055y_{n-3}-4.07004y_{n-4}-4.12409y_{n-5}-3.7452y_{n-6}-2.73203y_{n-7}-1.85249y_{n-8}-1.65893y_{n-9}-1.71533y_{n-10}-1.65893y_{n-11}-1.85249y_{n-12}-2.73203y_{n-13}-3.7452y_{n-14}-4.12409y_{n-15}-4.07004y_{n-16}-4.11055y_{n-17}-4.02118y_{n-18}-2.8349y_{n-19}-1y_{n-20}.$

Таким образом, зная $2I$ точек ряда (1) и указанные рекуррентные формулы, можно легко восстановить последующие значения ряда.

[profrotter]

Собственно, для полного описания последовательности было у нас $2I$ чисел $\{A_i\}$ и $\{B_i\}$ и стало $2I$ чисел. Была одна формула на всех и стала одна формула на всех. Последняя где-то может оказаться более полезной. Теперь бы найти этому хорошее применение, проверить полученные формулы для разных тестовых последовательностей, заглянуть в Хургин-Яковлев Финитные функции, посмотреть Маркела про AR - модели и можно публиковать в каком-нибудь внутривузовском или межвузовском сборнике трудов, а то и дальше в зависимости от конечного результата.

[SibViking]

profrotter в сообщении #597505 писал(а):

... заглянуть в Хургин-Яковлев Финитные функции, посмотреть Маркела про AR - модели ...

Спасибо. Наконец то я услышал, то что хотел услышать. Формулы проверял для разных тестовых последовательностей, все хорошо считает. Конечно же это не результат, но мне кажется, что полученный алгоритм в совокупности с другими методами можно развить в нечто более полезное.

[Евгений Машеров]

Это предмет исчисления конечных разностей. Там теория, в известном смысле "параллельная" теории дифференциальных уравнений. В частности, если мы рассмотрим линейное уравнение в конечных разностях, то его решение будет суммой затухающих (в практически важных случаях затухающих, вообще же может быть и экспоненциально возрастающие) синусоид, причём декремент затухания будет определяться модулем корня вспомогательного алгебраического уравнения (в котором сдвигу соотнесена степень переменной), а частота - аргументом его. Фазы и амплитуды будут зависеть от начальных условий. (В общем случае надо учесть ещё наличие кратных корней, они несколько усложнят решение).
То есть для получения рекуррентного уравнения, решением которого является сумма синусоид заданной частоты, надо выписать корни вспомогательного алгебраического уравнения, у которых модуль единица (незатухающие колебания), а аргумент определяется по заданной частоте, затем получить алгебраическое уравнение по корням его, после чего заменить показатель степени на сдвиг и, наконец, подобрать начальные условия так, чтобы амплитуды и фазы были бы желаемыми.

[Dimqin]

profrotter
Давно закончил институт. Мои познания в высшей математике изрядно подзатёрлись. Не поможете с выводом рекуррентной формулы для линейно или экспотенциально меняющейся частоты?

[profrotter]

Dimqin, не могу знать - не вижу самой задачи. В вашем случае на форуме требуется правилами создавать отдельную тему в разделе "помогите решить/разобраться(М)", там чётко формулировать задачу. Если смогу - помогу. Не смогу я - возможно смогут другие. Математики есть.