Тема пережила этап своего активного обсуждения и скоро найдёт себе достойное место в архивах форума. Пока этого окончательно не произошло я хотел немного рассказать об одном методе построения рекуррентных формул для различных функций.
Искомую линейную рекуррентную формулу запишем в виде:

Построение формулы заключается в подборе таких коэффициентов

и

и такой дискретной последовательности

, что результат расчёта будет давать отсчёты некоторой заданной функции

,

- период дискретизации.
В общем случае такая задача может иметь большое количество решений, а само нахождение их плохо поддаётся формализации. Рассмотрим частный случай, когда

Заметим, что в рассматриваемом случае следующие равенства дают начальные условия для искомой рекуррентной формулы:

А вместо (1) можно записать

Вернёмся к (1) и возмём Z - преобразование от обеих частей равенства и, с учётом свойства временного запаздывания и того, что

, получим:

Теперь пострение рекуррентного соотношения можно предствить в виде следующей последовательности этапов:
1. Осуществляем дискретизацию

и получаем последовательность

;
2. Находим Z - преобразование полученной последовательности и приводим к виду (5);
3. Находим коэффициенты

и

;
4. Подставляем коэффициенты либо в (1) с последовательностью (2), либо в (4) с начальными условиями (3).
Смотрим примеры:
1. Экспоненциальный импульс

, дискретизируем

. В таблице Z - преобразований находим

, откуда

. Рекуррентные формулы:

или

с начальным условием

.
2. Экспоненциальный радиоимпульс

Рекуррентные формулы:

или

с начальными условиями

В частном случае при

получим формулы для синуса:

или

с начальными условиями
