Если
то
, где
,
,
.
Докажем, что
не может быть квадратом целого числа, если
и
- взаимно-простые целые числа,
-нечётное положительное число и
.
ВТФ для
следует из этого очевидным образом.
Предположим, что является квадратом целого числа, где - наименьшее такое положительное нечётное число, и и - взаимно-простые целые числа.
Простой перебор возможных остатков от деления
и
на 9 показывает, что либо
делится на 3, либо
делится на 3.
Имеем:
(1)
Известно, что
является кольцом целых алгебраических чисел поля
, что в этом кольце имеет место терема о единственности разложения на простые множители, и все делители единицы имеют вид:
, где
- целое число.
Легко показать, что множители в правой части равенства (1) не имеют общих делителей (иначе
делится на этот общий делитель и
делится на него, что невозможно, поскольку
и
- взаимно-простые целые числа,
-нечётное число и одно из этих чисел делится на 3, а другое нет).
Значит, либо
, либо
, где
,
и
- целые числа.
Второе из этих равенств невозможно, поскольку коэффициент при
, в левой части нечётный (поскольку
- нечётное число), а в правой части - чётный.
Значит,
(2)
.
Будем считать, что
- неотрицательное число (иначе изменим знак у
,
и
).
Из (2) следует:
(3)
(4)
(5)
Все три числа
,
и
не равны нулю (если
, то
из (4), и левая часть (3) обращается в 0, что невозможно; если
, то
из (4), и левая часть (5) обращается в 0, что невозможно).
Из (4) получим:
.
Подставляя это выражение для
в (3) и (5) получим:
(6)
(7)
Пусть
,
, где
- наибольший общий делитель чисел
и
, взятый со знаком плюс.
Тогда
и
- взаимно-простые числа и:
(8)
(9)
Из (8) следует, что
делится на
и
делится на
; из (9) следует, что
делится на
, а поскольку
и
- взаимно-простые числа, то
или
.
Значит
и из (8) получим:
(10)
Поскольку
, то
, и из (10) следует, что
для некоторого положительного нечётного числа
.
Из (10) получим, что
является квадратом целого числа.
Мы покажем отдельно, что
, а сейчас предположим это.
Тогда из (10) следует, что
, что противоречит минимальности
.
Что и требовалось.