Производная по направлению как производная сложной функции

[gruppoid]

Хотел задать вопрос. Но пока сочинял пост, сам всё доказал. Результатом доволен и хочу поделиться, вдруг кому-нибудь будет интересно.

Под полной производной я буду понимать линейное отображение, применяемое к приращению аргумента: http://en.wikipedia.org/wiki/Total_deri ... linear_map.

Пусть $f: V \to W$ - функция из нормированного векторного пространства в нормированное векторное. Если $f$ дифференцируема в точке $x$ в смысле полной производной, то она дифференцируема в $x$ по любому направлению. Причем производная $f$ в точке $x$ по направлению вектора $v$ (как вектор в $W$) есть значение полной производной в точке $x$ (как линейного отображения из $V$ в $W$), примененной к вектору $v$.

Это можно доказать напрямую, как, например, здесь: https://people.maths.ox.ac.uk/tillmann/background-multvar.pdf. Но хочется вывести это из теоремы о производной сложной функции.

Сперва докажем лемму (полезную и вне данного контекста): Пусть $g: R \to V$ - функция из вещественной прямой в произвольное нормированное векторное пространство, aka вектор-функция. Если $g$ дифференцируема (в смысле полной производной) в точке $x$, то ее производная в этой точке есть отображение $g'(x): R \to V$ вида $g'(x)(h) = hv$, где $v$ - некоторый постоянный вектор из $V$. (Так как существует взаимно однозначное соответствие между такими отображениями и векторами из $V$, то можно считать, что производная - это просто вектор из $V$. В частности, производная обычной вещественнозначной функции вещественной переменной - это просто число.)

Доказательство: $g'(x)$ есть по определению линейное отображение из $R$ в $V$. Из линейной алгебры мы знаем, что $\operatorname{dim} R = \operatorname{dim} \operatorname{Ker} g'(x) + \operatorname{dim} \operatorname{Im} g'(x)$. Так как $\operatorname{dim} R = 1$, имеем $\operatorname{dim} \operatorname{Im} g'(x) \leq 1$. Если $\operatorname{dim} \operatorname{Im} g'(x) = 0$, то всё совсем просто. Если $\operatorname{dim} \operatorname{Im} g'(x) = 1$, то в $\operatorname{Im} g'(x)$ существует базис из единственного вектора $e$, и тогда $g'(x)(h) = \lambda _h e = h (\frac {\lambda _h} {h} e)$ для любого $h$. Так как $g'(x)$ линейно, $\frac {\lambda _h} {h}$ не зависит от $h$, то есть $\frac {\lambda _h} {h} e$ и есть искомый вектор $v$.

Теперь докажем нашу теорему. Производную $f$ в точке $x$ по направлению $v$ можно представить как $\frac {d} {dt}f(x + vt)|_{t=0}$, то есть в виде производной композиции функций $f(x) \cdot g(t)$ в точке $t=0$, где $g(t) = x + vt$ - функция из $R$ в $V$. (В силу доказанной леммы, линейное отображение, задаваемое полной производной этой композиции функций, можно считать вектором, задаваемым производной по направлению.) По теореме о производной сложной функции, эта производная есть $f'(x + vt) \cdot g'(t) |_{t=0} = f'(x) \cdot g'(0)$ при условии, что производные $f'(x)$ и $g'(0)$ существуют. $g'(0)$ существует и есть отображение $g'(0)(\tau) = v \tau$, что нетрудно проверить. $f'(x)$ существует по условию. Тогда ($f'(x) \cdot g'(0))(\tau) = f'(x)(v \tau) = \tau f'(x)(v)$, то есть $f'(x)(v)$ - искомый вектор из леммы, соответствующий данному отображению.

P.S. Идея доказательства не моя, а отсюда: http://narod.ru/disk/6700950001/Timorin-analiz-24-02-2011-lect3.mp4.html. Однако я при просмотре лекции застопорился на заключительном этапе доказательства, который мне пришлось додумывать самому (в частности, формулировать и доказывать вышеприведенную лемму). Собственно говоря, я здесь привел доказательство из этой лекции, но более разжеванное, для нубов вроде меня.

[ewert]

Что тут вообще доказывать-то?... По определению дифференцируемости векторной функции векторного аргумента в точке $\vec x$ (независимо от размерностей):

$\vec f(\vec x+\vec h)-\vec f(\vec x)=A\,\vec h+o(|\vec h|),$

где (при условии, конечно, что предыдущее верно) $A$ называется по определению производной $\vec f\,'(\vec x)$. Тогда, в частности,

$\frac1t\big(\vec f(\vec x+t\vec v)-\vec f(\vec x)\big)=\frac1t\big(A\,t\vec v+o(|t\vec h|)\big)=A\,\vec v+\frac1t\,o(|t|)\to A\,\vec v\ \text{при}\ t\to0,$

вот и всё доказательство, причём практически полное.

Из производной сложной функции вывести (точнее, просто получить как формальное следствие) тоже, конечно, можно. При этом сама производная сложной функции (и её существование) доказывается ровно так же, как и в одномерном случае, слово в слово -- только везде вместо модулей должны стоять нормы, вот и всё.

[gruppoid]

Ну да, я так и сказал: можно доказать напрямую.

Мое доказательство интересно (по крайней мере, мне) тем, что дает повод доказать лемму.

[ewert]

gruppoid в сообщении #595881 писал(а):

дает повод доказать лемму.

А зачем её доказывать -- что она даёт для сельского хозяйства?... Это и вообще не лемма, а всего лишь бессодержательная игра значками, усугублённая распространённой (к сожалению) путаницей между производными и дифференциалами. Запись $\vec g\,'(x)(h) = hv$ никакого содержательного значения не имеет, это -- всего лишь формальное определение дифференциала функции $\vec g$ (именно он стоит в левой части, но обозначен зачем-то как производная). При этом $h$ -- это дифференциал независимой переменной и $\vec v=\vec v(x)$ -- собственно производная исходной функции. Никакого отношения к производным по направлению это не имеет.

[gruppoid]

Цитата:

Это и вообще не лемма, а всего лишь бессодержательная игра значками, усугублённая распространённой (к сожалению) путаницей между производными и дифференциалами. Запись $\vec g\,'(x)(h) = hv$ никакого содержательного значения не имеет, это -- всего лишь формальное определение дифференциала функции $\vec g$ (именно он стоит в левой части, но обозначен зачем-то как производная). При этом $h$ -- это дифференциал независимой переменной и $\vec v=\vec v(x)$ -- собственно производная исходной функции. Никакого отношения к производным по направлению это не имеет.

Я с самого начала указал, что под производной понимаю линейное отображение: http://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative#The_total_derivative_as_a_linear_map. Если вы считаете, что данное понятие не имеет права на существование, пожалуйста, сообщите об этом, во избежание дальнейших недоразумений.

Запись $g'(x)(h)$ у меня означает значение производной (линейного отображения) $g'(x)$ в точке $h$. Это значение вы, должно быть, и называете дифференциалом. Споры о терминах мне неинтересны.

Цитата:

$\vec v=\vec v(x)$ -- собственно производная исходной функции.

Постойте, а из чего следует, что такое $v$ существует? Разве не это доказывается моей леммой? Еще раз: производная от $f$ в точке $x$ - это линейное отображение $A$, такое, что $f(x + h) - f(x) = A(h) + o(||h||)$ в окрестности $x$. Не вектор, а отображение. Изоморфизм между этими отображениями и векторами (имеющий место лишь для функций на одномерном пространстве!) как раз и устанавливается моей, как вы говорите, бессодержательной леммой.

Я вижу только одно объяснение вашей реакции: вы почему-то решили, что речь идет исключительно о функциях одной переменной, и поэтому данная лемма кажется вам тавтологией.

[ewert]

gruppoid в сообщении #595921 писал(а):

Постойте, а из чего следует, что такое $v$ существует?

Из того, что оно необходимо для существования дифференциала (или, что эквивалентно, производной).

Это всё из разряда разговоров насчёт того, что к чему привешано -- хвост к собаке или собака к хвосту. При любом формальном определении дифференцируемости всё сводится ровно к тому, что исходное отображение в первом приближении линейно. После чего словесные бантики на это можно навешивать какие угодно, но различия между ними уже никому не нужны.

[svv]

ewert, помилосердуйте, парень-то способный. Сейчас такой хорошо если один из ста встретится.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #595928 писал(а):

помилосердуйте, парень-то способный

Милосердствую. Но сегодня такая струя пошла -- топить содержательные понятия в совершенно не нужных формальностях. И вот эта струя (а вовсе не парень) мне и не нравится.

[gruppoid]

ewert в сообщении #595923 писал(а):

При любом формальном определении дифференцируемости всё сводится ровно к тому, что исходное отображение в первом приближении линейно.

Линейно $\neq$ пропорционально.

Вы утверждаете, что в общем случае (если функция определена на пространстве размерности больше 1) дифференциал представим в виде $df(h) = hv$. Простите, но это утверждение лишено смысла, поскольку в общем случае (размерность исходного пространства больше 1) $h$ - это не число, а вектор. Что есть произведение двух векторов из разных пространств?

[ewert]

gruppoid в сообщении #595936 писал(а):

Вы утверждаете, что в общем случае (если функция определена на пространстве размерности больше 1) дифференциал представим в виде $df(h) = hv$. Простите, но это утверждение лишено смысла, поскольку в общем случае (размерность исходного пространства больше 1) $h$ - это не число, а вектор. Что есть произведение двух векторов из разных пространств?

Прежде всего (и в конце концов) -- там в тупо неправильном порядке расставлены "сомножители". Конечно, не $hv$, а $vh$. Поскольку $v$ (в общем случае) -- это оператор, действующий на элемент $h$. Что по умолчанию подразумевается под действием оператора на скалярный элемент или наоборот -- вопрос уже следующий и очень частный, к общей схеме отношения не имеющий.

[gruppoid]

ОК, если $v$ - оператор, моё обвинение снимается.

Пожалуйста, перечитайте формулировку и доказательство моей леммы. Сомножители расставлены в правильном порядке, поскольку лемма рассматривает частный случай - функцию на множестве вещественных чисел. Поэтому вектор $h$ в данном случае есть скаляр, а через $v$ я здесь обозначаю не оператор, а именно некоторый вектор пространства, в которое бьет функция. Оператор (производную) я обозначаю через $g'(x)$. Таким образом, здесь $g'(x)(h) = hv$ - не тавтология, а полезное утверждение: существует такой вектор $v$, не зависящий от $h$. Утверждение простое, но непосредственно из общего определения полной производной не следует. Если вы знаете доказательство проще, пожалуйста, поделитесь.

-- 16.07.2012, 20:35 --

ewert в сообщении #595937 писал(а):

Что по умолчанию подразумевается под действием оператора на скалярный элемент или наоборот -- вопрос уже следующий и очень частный, к общей схеме отношения не имеющий.

Если вы перечитаете формулировку леммы, то увидите, что именно этот "очень частный" случай в ней и рассматривается.

Не вполне понимаю, что значит "вопрос о том, что подразумевается под действием оператора на скалярный элемент". Как вы, наверное, знаете, любое поле можно рассматривать как векторное пространство над самим собой. В частности, поле вещественных чисел. Так что скаляр - полноценный вектор, не хуже любого другого, и ничего "подразумевать" не нужно. Вопрос в другом: как доказать, что действие оператора на скаляр равносильно умножению некоторого постоянного вектора на этот скаляр. Чтобы в дальнейшем использовать этот факт в рассуждениях.

[ewert]

gruppoid в сообщении #595945 писал(а):

Пожалуйста, перечитайте формулировку и доказательство моей леммы.

Да Вы хоть сформулируйте, чтоб оно имело содержательный смысл, хоть сколько-то. Пока что же у Вас получается "пойду сюды, не знаю куды". Согласитесь, что это никому не интересно. Придайте хоть более-менее точный смысл своей терминологии. Нет, вовсе не обязательно, чтоб она оказалась правильной; но чтоб имела ну хоть какой-то смысл.

[gruppoid]

Не вижу никаких неоднозначностей в своей формулировке. Приведу ее еще раз, с небольшими изменениями:

Пусть $g: \mathbb{R} \to V$ - отображение из вещественной прямой в произвольное нормированное векторное пространство. Если $g$ дифференцируемо в точке $x$, то его производная в этой точке есть отображение $g'(x): \mathbb{R} \to V$ вида $g'(x)(h) = hv$, где $v$ - некоторый постоянный вектор из $V$.

В каком смысле понимается дифференцируемость, я вам уже говорил несколько раз.

Если вам все еще что-то в моей формулировке кажется непонятным или неточным - укажите, что именно. Согласитесь, что высказывания в духе "это всё бессодержательный бред" сами по себе бессодержательны.

[Xaositect]

Это действительно очень тривиальное утверждение. У Вас по определению производная в точке --- линейное отображение. А любое линейное отображение из одномерного пространства очевидно имеет такой вид, который Вы написали.

[gruppoid]

Xaositect в сообщении #595970 писал(а):

Это действительно очень тривиальное утверждение. У Вас по определению производная в точке --- линейное отображение. А любое линейное отображение из одномерного пространства очевидно имеет такой вид, который Вы написали.

Я и не спорю, утверждение тривиальное. (Как сказал Бор, все утверждения делятся на тривиальные и гениальные.) Действительно, оно не использует специфические свойства производной и верно для любого линейного отображения. Но почему любое линейное отображение из одномерного пространства "очевидно" имеет такой вид? Какую цепочку рассуждений вы прокручиваете в голове, чтобы убедить себя, что это действительно так? Наверно, что-то похожее на мое доказательство. Которое, кстати, довольно геометрически интуитивно.

ewert же настаивает, что утверждение не более чем тавтология, что меня и возмутило.