Производная по направлению как производная сложной функции

[Xaositect]

gruppoid в сообщении #595990 писал(а):

Но почему любое линейное отображение из одномерного пространства "очевидно" имеет такой вид? Какую цепочку рассуждений вы прокручиваете в голове, чтобы убедить себя, что это действительно так?

Пусть $A(1) = v$. Тогда $Ah = hv$ по линейности.

[gruppoid]

Xaositect в сообщении #595999 писал(а):

Пусть $A(1) = v$. Тогда $Ah = hv$ по линейности.

Хм, действительно. Спасибо, не зря тема создана.

[ewert]

gruppoid в сообщении #595990 писал(а):

Но почему любое линейное отображение из одномерного пространства "очевидно" имеет такой вид? Какую цепочку рассуждений вы прокручиваете в голове, чтобы убедить себя, что это действительно так?

Просто потому, что для отображений между произвольными линейными пространствами есть некая общая схема. Однако применительно к одномерным пространствам это схема по умолчанию сильно конкретизируется. Поскольку при операциях над полем, рассматриваемым как линейное пространство над самим собой, есть некий естественный базисный элемент -- попросту единичка того поля. Вот он по умолчанию и рассматривается этом случае как базисный, поскольку естественен и поскольку никаких обобщений в данном случае никому и нафик не нужно.

[gruppoid]

ewert в сообщении #596009 писал(а):

Просто потому, что для отображений между произвольными линейными пространствами есть некая общая схема. Однако применительно к одномерным пространствам это схема по умолчанию сильно конкретизируется. Поскольку при операциях над полем, рассматриваемым как линейное пространство над самим собой, есть некий естественный базисный элемент -- попросту единичка того поля. Вот он по умолчанию и рассматривается этом случае как базисный, поскольку естественен и поскольку никаких обобщений в данном случае никому и нафик не нужно.

Ну хорошо, базисный-то он базисный (на самом деле неважно, единичка он или любой другой ненулевой элемент), но как это соотносится с доказательством рассматриваемого утверждения? Речь ведь не о поле самом по себе, а о том, как оно отображается в другое пространство. Как эта самая конкретизация общей схемы осуществляется? Здесь в любом случае надо сделать еще один шаг в рассуждении - применить линейность отображения, как это сделал Xaositect, или можно немного перемудрить и рассмотреть размерность образа отображения, как это сделал я (что ненамного сложнее). Однако не вижу причин вообще ничего не пытаться делать.

[ewert]

gruppoid в сообщении #596019 писал(а):

но как это соотносится с доказательством рассматриваемого утверждения

Да какого утверждения-то?... У Вас там несколько букавок, и все друг с дружкой никак не связаны. Вы бы сформулировали хоть что-нибудь осмысленное. Пока что от Вас ничего подобного не поступало.

Предупреждение: на всевозможных Вик -- просьба не ссылаться. Ни на советских, ни на антисоветских. Чётко формулируйте свои мысли -- предпочтительно так, чтобы их можно было понять. Или хотя бы понять, что Вы хоть что-то пытаетесь сказать.

А то Вы вот сослались там в стартовом посте на англоязычную Вику. Да, эта Вика восхитительна. Да, она тщательно маскирует свои мысли. Да, она косноязычна и понятия не имеет, о чём говорит. Она во всех смыслах прелестная дама; но это ещё не основание, чтоб именно на неё ссылаться. Я же уверен, что у Вас есть и свои соображения. Ну так и выскажите их.

[gruppoid]

Я еще раз повторяю: я не вижу абсолютно никаких проблем со своей формулировкой. Если вы видите - укажите конкретно на эти проблемы. Пожалуйста, будьте конструктивнее. Цитировать формулировку третий раз я не буду.

На Вику я сослался, потому что трудно давать гиперссылки на отдельные абзацы в PDF и DJVU документах. Общеизвестное определение производной, используемое мной, вы можете найти, как минимум, в учебниках Рудина, Спивака, Зорича и Львовского. (В Вике, кстати, определение дано вполне четкое. Не знаю, что вас в нем не устраивает - слог не шекспировский, что ли?) Ладно, так уж и быть, сформулирую его здесь специально для вас.

Пусть $V$, $W$ - нормированные векторные пространства и $f$ - функция из $V$ в $W$, определенная в точке $x \in V$ и некоторой ее окрестности $U$. Функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x$, если существует такое линейное отображение $A: V \to W$, что для всех $x + h \in U$ имеет место $f(x + h) - f (x) = A(h) + o(||h||)$. Такое отображение $A$ называется производной (дифференциалом) функции $f$ в точке $x$.

P.S. Если вы и дальше будете сыпать (ничем не подкрепленными) заявлениями о бессмысленности и бессвязности моих формулировок, я не вижу смысла продолжать эту дискуссию.

[ewert]

gruppoid в сообщении #596044 писал(а):

$f(x + h) - f (x) = A(h) + o(||h||)$. Такое отображение $A$ называется производной (дифференциалом) функции $f$ в точке $x$.

Ну наконец-то (хотя опять путаница с "производными" и "дифференциалами", ну да ладно). Прекрасно, теперь сформулируйте в тех же терминах свою лемму.

[gruppoid]

ewert в сообщении #596047 писал(а):

Ну наконец-то (хотя опять путаница с "производными" и "дифференциалами", ну да ладно).

А я специально дописал дифференциал в скобках, чтобы вас позлить.

Если серьезно, то процитирую того же Зорича: "Линейная относительно $h$ функция $L(x) \in \mathcal{L}(X; Y)$, удовлетворяющая соотношению (1), называется дифференциалом, касательным отображением или производной отображения $f: E \to Y$ в точке $x$." Путаницы еще больше, вообще нифига понять невозможно.

Цитата:

Прекрасно, теперь сформулируйте в тех же терминах свою лемму.

Слушайте, по-моему, вы издеваетесь. Ну ладно. Копипаст из поста от 21:09:

Пусть $g: \mathbb{R} \to V$ - отображение из вещественной прямой в произвольное нормированное векторное пространство. Если $g$ дифференцируемо в точке $x$, то его производная в этой точке есть отображение $g'(x): \mathbb{R} \to V$ вида $g'(x)(h) = hv$, где $v$ - некоторый постоянный вектор из $V$.

[ewert]

gruppoid в сообщении #596052 писал(а):

Если $g$ дифференцируемо в точке $x$, то его производная в этой точке есть отображение

Никуда не годится. Правильная последовательность слов: "функция называется дифференцируемой, если..." и дальше уж продолжите, как положено.

Видите ли, тут такой любопытный нюанс. Вы не можете ссылаться на определение (неважно чего, в данном случае дифференцируемости) -- предварительно это определение не сформулировав. Есть такая странная особенность у математики вообще.

[gruppoid]

ewert в сообщении #596058 писал(а):

Никуда не годится. Правильная последовательность слов: "функция называется дифференцируемой, если..." и дальше уж продолжите, как положено.

С чего это вдруг? Вы таки определитесь, что вам нужно. Вы просили сформулировать (который раз) утверждение леммы. Я это сделал. Теперь вы почему-то решили, что это не утверждение, а определение, и начали учить меня, как правильно формулировать отпределения.

Цитата:

Видите ли, тут такой любопытный нюанс. Вы не можете ссылаться на определение (неважно чего, в данном случае дифференцируемости) -- предварительно это определение не сформулировав. Есть такая странная особенность у математики вообще.

Определение дифференцируемости и производной я привел несколькими постами выше, если вы вдруг забыли.